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第十九讲函数综合应用

名师伴学

课前热身

1．已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（）

O

O

y

x

2

A． B．或

C． D．或

2．在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）

A．一、二、三象限B．二、三、四象限

C．一、三、四象限D．一、二、四象限

3.点在反比例函数（）的图象上，则k的值是（）．

A．B．C．D．

4、如图为二次函数的图象，给出下列说法：

①；②方程的根为；

③；④当时，y随x值的增大而增大；

⑤当时，．

其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）

【参考答案】

1.B2.D3.B4.①②④

◆考点聚焦

大纲要求

灵活运用函数解决实际问题

考查重点及常考题型

利用函数解决实际问题，常出现在解答题中

◆备考兵法

1.四种常见函数的图象和性质总结

?

图象

特殊点

性质

一次

函

数

与x轴交点

与y轴交点（0，b）

(1)当k0时，y随x的增大而增大；(2)当k0时，y随x的增大而减小.

正比

例函

数

与x、y轴交点是原点(0,0)。

(1)当k0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限；(2)当k0时，y随x的增大而减小，且直线经过第二、四象限

反

比

例

函

数

与坐标轴没有交点，但与坐标轴无限靠近。

(1)当k0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；(2)当k0时，双曲线经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

二

次

函

数

与x轴交点或，其中是方程的解，与y轴交点，顶点坐标是(-,)。

(1)当a0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-,y最小值=。

(2)当a0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是直线x=-,y最大值=

注意事项总结：

(1)关于点的坐标的求法：

方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。

(2)对解析式中常数的认识：

一次函数y=kx+b(k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。

(3)对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。

(4)二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h0时，向右平行移动|h|个单位；h0向左平行移动|h|个单位；k0向上移动|k|个单位；k0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动,顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。

中考中的函数综合题，除了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键．

◆典例精析

例1：如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2,n)，一次函数图像与y轴的交点为C。

（1）求一次函数解析式；

（2）求C点的坐标；

（3）求△AOC的面积。

解析：（1）确定一次函数的的关系式的关键是求出点A、点B的坐标，分别把A（m，2），B（-2，n）代入反比例函数的关系式易求出m=1、n=-1，由待定系数法确定出一次函数关系式为的值；

（2）令关系式中的x为0求出y=1，所以C（0，1）；

（3）△AOC的面积等于×OC×1=.

答案：由题意：把A（m，2），B（-2，n）代