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学习要点:极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系,在这两种坐标系中都可以确定点的位置,其各有特点。通常情况下,在运动的过程中,若点作平移变动,则选择直角坐标系;而若点作旋转变动,则采用极坐标系。
复习回顾4.1.1直角坐标系yzP(x,y)P(x,y,z)●●●●oooxyPx(1)在数轴上,直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应;(2)在平面直角坐标系上,平面上所有点的集合与全体有序实数对(x,y)的集合建立一一对应;(3)在空间直角坐标系上,空间上所有点的集合与全体三元有序实数对(x,y,z)的集合建立一一对应;
复习回顾直角坐标系数轴平面直角坐标系空间直角坐标系R(x,y)(x,y,z)
复习回顾建立坐标系是为了确定点的位置。由此,在所创建的坐标系中,应满足:任意一点都存在一个坐标与之对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置;而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)若图形有对称中心,则可选对称中心为坐标原点;(2)若图形有对称轴,则可选择对称轴为坐标轴;(3)建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
巩固练习选择适当的坐标系,表示边长为1的正六边形的顶点。yFEAOxDBC
创设情境(1)若有一艘军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定他们的位置以便将它们引爆呢?军舰水雷群
创设情境请问去农行路怎么走?从这向北1000米
情境分析请分析上面这句话,他告诉了问路人什么?从这向北走1000米!方向出发点距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。
新课讲解一、极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做极点。引一条射线Ox,叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向(通常取逆时针方向)。Ox这样就建立了一个极坐标系。
新课讲解二、极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点M,用?表示线段OM的长度,用?表示从Ox到OM的角度,?叫做点M的极径,?叫做点MM??的极角,有序数对(?,?)就叫做M的极坐标。Ox特别强调:?表示线段OM的长度,即点M到极点O的距离;?表示从Ox到OM的角度,即以Ox(极轴)为始边,OM为终边的角。
练一练题组1:说出下图中各点的极坐标
特别规定:当M在极点时,它的极坐标?=0,?可以取任意值。想一想?①平面上一点的极坐标是否唯一?②若不唯一,那有多少种表示方法?③坐标不唯一是由谁引起的?④不同的极坐标是否可以写出统一表达式?
新课讲解三、点的极坐标的表达式的研究:M?如图:OM的长度为4,?请说出点M的极坐标的其他表达式.思考:这些极坐标之间有何异同?极径相同,不同的是极角。OX思考:这些极角有何关系?这些极角的始边相同,终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式:
练一练题组2:在极坐标系里描出下列各点
解析:CEAGBFOXD
新课讲解四、1、负极径的定义说明:一般情况下,极径都是正值;在某些必要情况下,极径也可以取负值。对于点M(?,?)负极径时的规定:P[1]作射线OP,使?XOP=?[2]在OP的反向延长?线上取一点M,使?OM?=???;如图示:OXM
新课讲解2、负极径的实例在极坐标系中画出点:M(-3,?/4)的位置P[1]作射线OP,使?XOP=?/4[2]在OP的反向延长线上取一?=?/4O点M,使?OM?=3;X如图示:M(-3,?/4)●M
练一练题组3:说出下图中当极径取负值时各点的极坐标
新课讲解???3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的吗?根据极径定义,极径是距离,当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思?思考:试把负极径时点的确定过程,与正极径时点的确定过程相比较,看看有什么相同,有什么不同?
4、正、负极径时,点的确定过程比较PPM画出点:(3,?/4)和(-3,?/4)[1]作射线OP,使?XOP=?/4[2]在OP的上取一点M,使?OM?=3OX[1]作射线OP,使?XOP=?/4OX[2]在OP的反向延长线上取一点M,使?OM?=3M给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法:先按极角找到极径所在的射线,后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。
P5、负极径的实质从比较来看,负极径比正极径多了一个操作,将射线OP“反向延长”。M而反向延长也可以看成是旋转O?,因此,所谓“负极径”实质是针对方向的。这与数学中通常的习惯一致,用“负”表示“反向”。XPOXM
练习:写出点的负极径的极坐标(6,)答:(-6,+π)或(-6,-+π)负极径小结:极
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