课时作业(四十二)　空间几何体的表面积与体积.DOC

课时作业(四十二)空间几何体的表面积与体积

基础过关组

一、单项选择题

1．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是()

A．6∶5B．5∶4．4∶3D．3∶2

解析设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，设圆柱的表面积和球的表面积分别为S1，S2，则S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，S2＝4πR2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(3,2)。故选D。

答案D

2．过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为()

Aeq\f(9,32)Beq\f(9,16)eq\f(3,8)Deq\f(3,16)

解析由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r，则22＝12＋r2，所以r2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为eq\f(π×3,\f(4,3)π×23)＝eq\f(9,32)。故选A。

答案A

3．(2020·天津高考)若棱长为2eq\r(3)的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A．12π B．24π

．36π D．144π

解析设外接球的半径为R，易知2R＝eq\r(3)×2eq\r(3)＝6，所以R＝3，于是该球的表面积S＝4πR2＝36π。故选。

答案

4．(2021·昆明调研测试)在长方体ABD-A1B11D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1A的距离为()

Aeq\f(\r(3),3) Beq\f(\r(6),3)

．1 Deq\r(2)

解析如图，连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1-AB的高，AD1＝D1＝eq\r(5)，取A的中点，连接D1，则D1⊥A，所以D1＝eq\r(AD\\al(2,1)－A2)＝eq\r(3)。设点B到平面D1A的距离为h，则由VB-D1A＝VD1-AB，即eq\f(1,3)S△D1A·h＝eq\f(1,3)S△AB·D1D，又S△D1A＝

eq\f(1,2)D1·A＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2eq\r(2)＝eq\r(6)，S△AB＝eq\f(1,2)AB·B＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以h＝eq\f(\r(6),3)。故选B。

答案B

5．设三棱柱AB-A1B11的侧棱垂直于底面，AB＝A＝2，∠BA＝90°，AA1＝3eq\r(2)，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()

A．24π B．18π

．26π D．16π

解析依题意得三棱柱AB-A1B11的外接球即底面为正方形(边长为2)、高为3eq\r(2)的长方体的外接球，故该球的直径为长方体的体对角线，设该球的半径为R，则有(2R)2＝22＋22＋(3eq\r(2))2＝26，故该球的表面积为4πR2＝26π。故选。

答案

6．某生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内。若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积为()

Aeq\f(16π,9) Beq\f(8π,9)

eq\f(16π,27) Deq\f(8π,27)

解析解法一：如图，＝2，A＝3，由△AED∽△A，可得eq\f(ED,)＝eq\f(AE,A)。设圆柱体的底面半径r＝ED＝2(01)，可得AE＝3，则圆柱体的高h＝E＝3－3，圆柱体的体积V＝π(2)2(3－3)＝12π(2－3)，令V()＝12π(2－3)，则V′()＝12π(2－32)，令V′()＝0，解得＝eq\f(2,3)或＝0(舍去)，可得V()在eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(0，\f(2,3)))上单调递增，在eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(2,3)，1))上单调递减，故当＝eq\f(2,3)时，V()取得最大值，V()a＝eq\f(16π,9)，即圆柱体的最大体积为eq\f(16π,9)。

解法二：同解法一，则圆柱体的体积V＝12π2(1－)＝6π··(2－2)≤6π·eq\b\l\[\r\](\a\vs4\al\1(\f(＋＋?2－2?,3)))3＝eq\f(16π,9)，当且仅当＝2－2，即＝eq\f(2,3)时等号成立，故圆柱体的最大体积是eq\f(16π,9)。

答案A

7我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈。问它的体积是多少？该书提供的算法是：上