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第一章集合与简易逻辑、推理证明:
一、理解集合中的有关概念
1、集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性。
2、能用自然语言、图形语言、集合语言〔列举法、描述法〕描述不同的具体问题。
注意:区分集合中元素的形式。如:;;
3、常用数集的符号表示:自然数集;正整数集、;整数集;有理数集;实数集;复数集
4、集合与元素的关系用符号,表示。
5、空集是指不含任何元素的集合。(、和的区别;0与三者间的关系)
二、集合间的关系及其运算〔能利用数轴或韦恩图表表达集合的关系及运算。〕
1、符号“”是表示元素与集合之间关系的,在立体几何中的有来描述点与直线〔面〕的关系;
符号“、”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的、表达面与直线(面)的关系。
2、;;
3、①交换律:;;
②结合律:;
③分配律:;
④;;;;
;;;
⑤;
三、集合中元素的个数的计算:
1、假设集合中有个元素,那么集合的所有不同的子集个数为,所有真子集的个数是,所有非空真子集的个数是
2、中元素的个数的计算公式为:;
例:50名学生做物理、化学实验,物理实验做得正确的有40人,化学实验做得正确的有31人,两种实验都做得错误的有41人,问这两种实验都做对的有几人。
四、全称量词:“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”〔含有全称量词的命题叫做全称命题〕
存在量词:“存在一个”、“至少一个”、“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”〔含有存在量词的命题叫做特称命题〕
全称命题的否认:的否认:
特称命题的否认:的否认:
五、原命题、逆否命题、否命题、逆命题的关系如图
原命题与逆否命题等价,否命题与逆命题等价
否命题和命题的否认不是同一概念,如果原命题是“假设那么”,那么命题的否认是“假设那么表示命题,即只否认结论。
六、简单命题和复合命题
逻辑连结词“或”、“且”、“非”〔“或”、“且”、“非”与集合的“并”、、“交”、“补”有联系〕
对于“”、“”、“”形式的复合命题用口诀:“有真或为真、两真且才真、真非假、假非真”
七、充分条件、必要条件、充要条件的概念〔判断步骤:“能否推出”以及“能否推出”、区分出和是条件还是结论〕
满足条件,满足条件,
假设,那么是的充分非必要条件〔从集合与集合的关系上看〕;
假设,那么是的必要非充分条件〔从集合与集合的关系上看〕;
假设,那么是的充要条件〔从集合与集合的关系上看〕;
假设,那么是的既非充分又非必要条件〔从集合与集合的关系上看〕。
八、合情推理与演绎推理
1、归纳推理是由局部到整体、由个别到一般的推理
2、类比推理是由特殊到特殊的推理
3、归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比拟、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜测的推理,我们统称为合情推理。
4、演绎推是由一般到特殊的推理〔其模式是“三段论”〕
九、直接证明与间接证明
1、综合法:执因索果
2、分析法:执果索因〔在使用分析法时,要注意表达“要证……,只须证明……”〕
3、在解决具问题时,分析法与综合法要结合起来使用,也就是说“两头凑”会使问题轻易解决。
4、反证法:当证明“假设,那么”感到困难时,改证它的等价命题“假设那么”成立
步骤:假设结论反面成立;从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。
矛盾的来源:与原命题的条件矛盾;导出与假设相矛盾的命题;导出一个恒假命题。
十、数学归纳法:
1、数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法,假设是起始值,那么是使命题成立的最小正整数。
2、用数学归纳法证明题目时,其步骤如下:
①归纳奠基:当时,验证命题成立;
②归纳递推:假设当〔〕时,命题成立,推证时,命题也成立,从而推出对于所有的正整数命题均成立。〔在证明过程中,一定要用到归纳递推,否那么就不是数学归纳法
例:数学归纳法证明贝努利不等式:〔、,为大于1的正整数〕
第二章函数
一、映射与函数:
1、映射的概念:设、是两个集合,如果按照某种对应法那么,对于集合中的元素,在集合中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做映射,记作
①映射的三要素:集合、,以及从到的对应法那么,三者缺一不可。
②映射是一种特殊的对应,映射中的集合、可以是数集也可以是点集或其它集合,这两个集合有先后次序,从到的映射与从到的映射是截然不同的。
③只有“多对一”或“一对一”的对应,能够成映射,一对多对应不能构成映射。
2、函数的概念:函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。
二、函数的三要素:定义域、值域、对应
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