高一数学余弦定理的推导1教案.docx

教案

教学基本信息

教学基本信息

课题

余弦定理的推导

学科

数学

学段：高中

年级

高一

教材

书名：普通高中教科书数学必修第二册 A版 版社：人民教育出版社

出版日期：2019年6月

教学目标及教学重点、难点

教学目标及教学重点、难点

本节课的主要知识要素是余弦定理的发现和证明过程，核心环节是利用几种不同的

方法来推导余弦定理并牢记公式；体会定理探究过程中的数学研究方法和思想；教学过程中主要培养学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的能力.

教学过程

教学过程(表格描述)

教学

主要教学活动

设置意图

环节

同学们好！我是来自北京市第二中学的数学教师傅靖.相信在大

结合初中

家之前的数学学习中，三角形应当是大家最熟悉的几何图形之一，我

学习的三

们研究过很多三角形的有关问题，那么今天这节课，我们以更明确的

角形中的

视角，更多样的思路，探究三角形中一个优美的结论，余弦定理.

复习

有关边角

引入

首先，我们来回顾一下曾经学习过的相关知识.我们知道，一个三

关系和三

角形中，包含着各种各样的几何量，比如角度、边长、面积等等；其

角形之间

中，我们把三角形的三个角和三条边叫做三角形的元素.对于三角形

的关系等

中的元素，首先要明确它们的表示方法：在△ABC中，我们用大写字

知识，引

母来表示角，用相应的小写字母来表示角的对边.除了规范的表示三

出本节课

角形中的元素外，我们还关注于元素之间的关系.比如边的关系，对于任意三角形，三边之间存在着不等关系，而特殊的，比如在直角三角形中有勾股定理，此外，我们还知道一些角的关系：比如三角形内角和是180，这对于任意三角形都成立.还有一类，就是边与角之间的关系；比如对于任意三角形，边角之间存在着不等的对应关系，而更明确的关系是，在直角三角形中表示锐角三角函数，因此三角函数也搭建起了边与角之间联系的平台.以上，我们复习了在一个三角形中，利用一些定量关系来表示元素之间的关系的常用结论.

那么对于两个三角形之间，又有着怎样的关系呢？在初中我们探究过两种三角形之间的关系，即三角形的相似和全等；对于一般三角形的相似，我们主要有三种判定方法，这说明，当两个三角形中有某些对应元素存在确定的关系时，三角形相似；而对于全等的判定，我们主要有四种方法，这说明，当某些对应元素分别相等时，两个三角形全等，所以通过两个三角形中对应元素之间的关系，我们可以对三角形是否相似或全等做定性的判断.同时，三角形的相似和全等之

间，也存在着联系.比如，两类关系中都有涉及两边及夹角关系的判定方法，那么当两边从成比例到分别相等时，三角形也从相似变为全等，实际上，相似比等于1的相似三角形就是全等三角形.可见，随着三角形中对应元素之间的关系逐步确定，三角形的形状也能够逐步明确.那么请大家想一想，我们能否继续找到三角形元素之间更加明确的关系，来进一步研究三角形呢？今天，我们不妨就从三角形全等的判定方法中的“SAS”——“边角边”出发，做更深入的思考.

我们知道，所谓的“边角边”，指的是三角形中两条边与它们的夹角，因此这个判定方法可以定性的得到两边及其夹角分别相等的两个三角形全等这样的结论.其实这就说明，如果给定了三角形的两条边及其夹角，三角形应当是唯一确定的.那既然三角形能够确定，在这个三角形中除了已知的两边及其夹角之外的其他元素应当也能够确定，由此可见，三角形中已知两边及其夹角就能够确定三角形中的其

探究内容.

他元素，那么他们之间存在怎样的确定关系呢？换句话说，能否用已知的两边及其夹角，试着表示出三角形中的其他元素？能否找到某些确定的定量关系呢？

下面我们一起来解决这个问题.

首先我们用数学语言来描述一下这个问题，比如，我们先来解决：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，那么怎样用a，b和C表示c呢？我们先来明确思路.

第一种思路，既然我们探究的是三角形中用已知边、角来表示边的问题，很多同学自然地想要画一画三角形来辅助分析.那应该画一个什么样的三角形呢？实际上，我们没有规定它的形状，因此对于一般的三角形，想来定量的表示边长，恐怕并不容易，这就需要我们想办法把一般的转化为特殊的，熟悉的，能够顺利求出边长的图形，显然，通过课前回顾我们知道，直角三角形就是一个很好的桥梁，我们既可以用勾股定理来表示边的关系，也可以利用锐角三角函数建立边与角

探究 之间的关系.因此我们不妨尝试把一般的三角形转化为直角三角形，再

新知 利用几何关系表示边长，而从一般三角形中构造出直角三角形，我们最常用的方法，就是作三角形的高线，利用高线与底边的垂直关系来构造直角三角形，再利用勾股定理求得边长.因此首先要明确的就是如何作高.我们知道，一个三角形可以作出三条高线，那么选择哪一