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第一次月考难点特训(二)
与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题
1.如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在坐标轴上,A,B两点关于y轴对称,点C是y
轴正半轴上一个动点,AD是角平分线.
(1)如图1,若∠ACB=90°,直接写出线段AB,CD,AC之间数量关系;
(2)如图2,若AB=AC+BD,求∠ACB的度数;
(3)如图2,若∠ACB=100°,求证:AB=AD+CD.
【解答】解:(1)如图1,过D作DM⊥AB于M,
∵A,B两点关于y轴对称,
∴CA=CB,
∵∠ACB=90°,AD是角平分线,
∴CD=MD,∠ABC=45°,
∴∠BDM=45°,
∴BM=DM,
∴BM=CD,
在RT△ADC和RT△ADM中,,
∴RT△ADC≌RT△ADM(HL),
∴AC=AM,
∴AB=AM+BM=AC+CD,
即AB=AC+CD;
(2)设∠ACB=α,则∠CAB=∠CBA=90°﹣α,
在AB上截取AK=AC,连接DK,
∵AB=AC+BD,
∴BK=BD,
∵AD是角平分线,
∴在△CAD和△KAD中,,
∴△CAD≌△KAD(SAS),
∴∠ACD=∠AKD=α,
∴∠BKD=180°﹣α,
∵BK=BD,
∴∠BDK=180°﹣α,
在△BDK中,
180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α=180°,
∴α=108°,
∴∠ACB=108°;
(3)如图2,在AB上截取AH=AD,连接DH,
∵∠ACB=100°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=40°,
∵AD是角平分线,
∴∠HAD=∠CAD=20°,
∴∠ADH=∠AHD=80°,
在AB上截取AK=AC,连接DK,
由(1)得,△CAD≌△KAD,
∴∠ACB=∠AKD=100°,CD=DK,
∴∠DKH=80°=∠DHK,
∴DK=DH=CD,
∵∠CBA=40°,
∴∠BDH=40°,
∴DH=BH,
∴BH=CD,
∵AB=AH+BH,
∴AB=AD+CD.
2.如图,A(﹣t,0)、B(0,t),其中t>0,点C在OA上一点,OD⊥BC于点D,且∠BCO=
45°+∠COD.
(1)求证:BC平分∠ABO;
(2)求的值;
(3)若点P为第三象限内一动点,且∠APO=135°,试问AP和BP是否存在某种确定的位置
关系?说明你的理由.
【解答】(1)证明:如图1中,∵AO=BO=t,∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵∠BCO=45°+∠COD=∠BAO+∠ABC,
∴∠COD=∠ABC,
∵OD⊥BC,
∴∠CDO=90°,
∵∠DOC+∠DCO=90°,∠CBO+∠BCO=90°,
∴∠DOC=∠CBO,
∴∠ABC=∠CBO.
(2)解:中图1中,作DE=DO,
∵∠ODE=90°,
∴∠DEO=45°=∠EBO+∠EOB,
∵∠ABC=∠CBO=∠ABO=22.5°,
∴∠EOB=∠EBO=22.5°,
∴EB=EO,
∵∠ECO=∠EOC=67.5°,
∴EC=EO,
∴BC=2EC=2(DE+DC)=2DO+2DC,
∴==2.
(3)结论:PB⊥AP,如图2,理由如下:
解:方法一:作OM⊥OP交PB于M,交AP的延长线于N,
∵∠APO=135°,
∴∠OPN=∠N=45°,
∴OP=ON,
∵∠AOB=∠PON=90°,
∴∠BOP=∠AON,
在
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