微积分：六个不定积分计算步骤及其答案D7.docVIP

微积分：六个数学不定积分计算步骤

1.计算eq\i(,,\f(12x-16,6x2-16x+4))dx。

解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(6x2-16x+4)=12x-16，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式eq\i(,,\f(dx,x))=lnx+c来变形计算。

eq\i(,,\f(12x-16,6x2-16x+4))dx=eq\i(,,\f(d(6x2-16x),6x2-16x+4))

=eq\i(,,\f(d(6x2-16x+4),6x2-16x+4))=ln|6x2-16x+4|+C。

2.计算eq\i(,,(10x2-7)2)dx.

解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：

eq\i(,,(10x2-7)2)dx

=eq\i(,,(102x?-140x2+72))dx,

=eq\i(,,102x?dx)-eq\i(,,140x2dx)+eq\i(,,72dx),

=eq\f(1,5)*102x?-eq\f(1,3)*140x3+72x+C.

思路二：通过分部积分进行计算，有：

eq\i(,,(10x2-7)2)dx

=(10x2-7)2x-eq\i(,,xd(10x2-7)2)，

=(10x2-7)2x-4*10eq\i(,,x2(10x2-7))dx，

=(10x2-7)2x-4*10eq\i(,,(10x?-7x2)dx)，

=(10x2-7)2x-4*102eq\i(,,x?dx)+4*10*7eq\i(,,x2dx),

=(10x2-7)2x-eq\f(4,5)*102x?+eq\f(2,3)*140x3+C。

3.积分eq\i(,,\f(dx,(x2-16x+115)))的计算。

解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=162-4*115＜0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)2+c的形式，再根据不定积分公式eq\i(,,\f(dx,1+x2))=arctanx+C变形计算即可，有：

eq\i(,,\f(dx,(x2-16x+115)))

=eq\i(,,\f(dx,x2-16x+64+51))=eq\i(,,\f(dx,(x-8)2+51))

=eq\f(1,51)eq\i(,,\f(dx,1+\f((x-8)2,51)))=eq\f(1,eq\r(51))eq\i(,,\f(deq\f(x,\r(51)),1+\f((x-8)2,51))),

=eq\f(1,eq\r(51))arctaneq\f(x-8,eq\r(51))+C。

4.计算eq\i(,,(\f(31,80x)+\f(52x,9))2dx).

解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：

eq\i(,,(\f(31,80x)+\f(52x,9))2dx)

=eq\i(,,[(eq\f(31,80x))2+2*eq\f(31,80)*eq\f(52,9)+(eq\f(52x,9))2]dx),

=(eq\f(31,80))2eq\i(,,\f(dx,x2))+eq\f(403,90)eq\i(,,dx)+(eq\f(52,9))2eq\i(,,x2dx),

=-eq\f((\f(31,80))2,x)+eq\f(403x,90)+eq\f(1,3)*(eq\f(52,9))2x3+C。

5.计算eq\i(,,(21x3-33x2+28)104(63x2-66x)dx)不定积分计算

解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(21x3-33x2+28)=63x2-66x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：

eq\i(,,(21x3-33x2+28)104(63x2-66x)dx)

=eq\i(,,(21x3-33x2+28)104d(21x3-33x2+28)),

=eq\f(1,105)(21x3-33x2+28)105+C.

6.计算eq\i(,,xln(107x-56))dx。

解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：

eq\i(,,xln(107x-56))dx

=eq\f(1,2)eq\i(,,ln(107x-56)dx2)，

=eq\f(1,2)x2ln(107x-56)-eq\f(1,2)eq\i(,,x2dln(107x-56)),

=eq\f(1,2)x2ln(107x-56)-eq\f(107,2)eq\i(,,\f(x2dx,107x-5