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第四节无穷小与无穷大

一、无穷小

定义1如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限

为零，那么称函数f(x)为当xx0（或x）

的无穷小.

定理1limf(x)Af(x)A+

xx0

xx

其中为0时的无穷小.

定理2有限个无穷小的和还是无穷小.

定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2有限个无穷小的乘积是无穷小.

二、无穷大

f(x)在x

定义2设函数0的某一去心领域内有定义(或

x大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数M

x

(不论它多么大)，总存在正数(或正数X)，只要适



合不等式0x−x(或xX)，对应的函数值f(x)总

满足不等式

f(x)M①

则称函数f(x)为当xx0（或x）时的无穷大.

记作limf(x)（或limf(x)）.

xxx

f(x)Mf(x)−M），就记作

若把①换成（或

limf(x)+(limf(x)−)

xx0xx0

(x)(x)

例1.证明

注：如果limf(x)则直线

xx

xx0为曲线yf(x)的铅直渐

近线.

渐近线

定理4在自变量的同一变化过程中,

1

f(x)

若为无穷大,则为无穷小；

f

1

若f(x)为无穷小,且f(x)0,则为无穷大.

f(x)

说明:

据此定理,关于无穷大的问题都可转化为

无穷小来讨论.

引例.

x0时，3x,x2,sinx都是无穷小，但

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