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【同步教育信息】
一.本周教学内容:
几何证明的分析法与综合法专题讲座
二.教学目标:
1.掌握证明一个命题的一般步骤。
2.灵活掌握几何证明时常用的两种思考方法:分析法和综合法。
3.掌握对一些较复杂的几何问题,能够采用“两头凑”的思考方法去寻求证明的途径。
4.进一步培养学生的逻辑思维和推理论证的能力。
三.教学重点、难点:
重点:掌握几何证明的分析法和综合法及两头凑的方法。
难点:寻求证明的方法和途径。
四.几何证明方法指导:
1.证明一个命题的一般步骤
(1)按题意画出图形。
(2)分清命题的题设和结论,结合图形,在已知一项中写出题设,在求证一项中写出结论。
(3)探求证明途径。
(4)在证明一项中写出证明过程。
2.证明命题正确的关键在于找出正确的证明方法或途径,这是最困难的,也正是我们力求研究和解决的问题。
3.介绍两种几何证明时常用的思考方法:
(1)分析法
①定义:要证明一个命题正确,为了寻找正确的证题方法或途径,我们可以先设想它的结论是正确的,然后追究它成立的原因,再就这些原因分别研究,看它们的成立又各需具备什么条件,如此逐步往上逆求,直至达到已知的事实,这样一种思维方法就叫做分析法。
可简单地概括为:“执果索因”。意思就是:“拿着结果去寻找原因”。
②思路:
举例说明其证明命题正确的思路:若要证明如下命题:“若A成立,则D成立。”用分析法思考时,其思路可如下图所示:(应从下往上看)从结论开始,即从D开始往上寻求其成立的条件,假设C、C1、C2都能使D成立,再寻求其成立的条件什么能使C、C1、C2成立,设B、B1能使C成立,B2能使C1成立,B3、B4能使C2成立,这一切原因,固然都可使D成立,但究竟哪个是题设A的结果呢?检查之后,设发现B是,这样就由未知的D上溯到已知的A,因而就获得了证明的思路:D←C←B←A,即D可由C得出,C又可由B得出,B又可由已知的A得出,至此显然命题得证。
(2)综合法:
①定义:证明一个命题的正确时,我们先从已知的条件出发,通过一系列已确立的命题(如定义、定理等),逐步向前推演,最后推得要证明的结果,这种思维方法,就叫做综合法。
可简单地概括为:“由因导果”,即“由原因去推导结果”。
②思路:
要证明定理“若A成立,则D成立”,用综合法思考时,其思路可由下图所示:从已知条件开始,故从A开始推演,寻找可以到达D的思路,但由A所得的结果往往不止一个,可能有好多个。设B、B1、B2都是A的结果,同样由B、B1、B2又可得好多结果,设由B可得C、C1,B1可得C2,B2可得C3、C4,在这些C中,只要有一个能得出D即可,思考至此便可得到:A→B→C→D这个证明的思路了。若C中还没有一个能得出D的,可如上一样,再往下寻求,直至能得出D为止。
(3)分析法与综合法的特点:
分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件,直至寻求到已知条件上。
综合法的特点是从已知条件开始推演,一步步地推导结果,最后推出要证明的结果。
(4)分析法与综合法的优缺点:
①证几何题时,在思索上,分析法优于综合法,在表达上分析法不如综合法。
②分析法利于思考,综合法宜于表述,在解决问题中,最好合并使用。
③对于一个新问题,我们一般先用分析法寻求解决,然后用综合法有条理地表述出来。
4.“两头凑”的证题方法。
对于一些较复杂的几何问题,我们可以采用“两头凑”的方法去寻求证明的途径。“两头凑”即先从已知条件出发,看可以得出什么结果,再从要证明的结论开始寻求,看它的成立需具备哪些条件,最后看它们的差距在哪里,从而找出正确的证题途径。
【典型例题】
例1.已知,如下图,∠1=∠2,∠3=∠4,AB=AC
求证:AE=AD
分析法:先用分析法来分析此题。
说明:分析法是从结论开始逐步往上逆求,最后归结到已知条件上,在书写证明时,为了叙述方便,往往还要逆过来,从已知条件开始叙述,因此下面写出如下证明过程:
证明:∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE(ASA)
∴AE=AD(全等三角形的对应边相等)
例2.已知梯形ABCD的腰CD上有一点E,EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,则AB=AD+BC。
分析:我们先用综合法思考此题:
、
证明:∵ABCD是梯形,CD是腰
∴AD如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D,CE⊥BD的延长线于E。
求证:BD=2CE。
分析:我们用“分析法”的方法来分析此题。先由条件“BD平分∠ABC和CE⊥BD”想到延长CE、BA相交于F,然后想到如下分析思路:
下面再用综合法写出证明过程。
证明:延长CE
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