《高等数学》第3章导数应用教学课件.ppt

容易看到,当函数单调递增时,曲线是上升的,此时其上每一点处的切线与ｘ轴正方向的夹角都是锐角,切线的斜率大于零,也就是说在相应点处的导数大于零；相反地,当函数单调递减时,曲线是下降的；其上每一点处的切线与ｘ轴正方向的夹角都是钝角,切线的斜率小于零,也就是说在相应点处的导数小于零.一般地,有判别定理：3-3函数单调性判别法(1)如果在内，，那么函数在内单调增加.(2)如果在内，，那么函数在内单调减少．定理3.5（函数单调性判定）设函数在上连续，在内可导，3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法判别函数增减性的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出使=0和不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域分割成几个子区间.（3）确定在各个子区间内的符号，从而判定函数的单调性.※注意有的可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍为单调增加（或减少）．3-3函数单调性判别法3-3函数单调性判别法3-4函数的极值设函数在区间有定义,.如果在某个邻域内(1)，则称为函数的极大值，并且称点是的极大值点.(2),则称为函数的极小值，并且称点是的极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为函数的极值点.函数的极值仅仅是在某一点的近旁而言的,它是局部性概念.在一个区间上,函数可能有几个极大值与几个极小值，甚至有的极小值可能大于某个极大值.极值与水平切线的关系:在函数取得值处（该点可导）,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值3-4函数的极值定理3.7(极值存在的必要条件)如果在点处取得极值且在点处可导,则.说明：（1）定理3.7的几何解释是：可微函数的图形在极值点处有水平切线.(2)定理3.7的条件仅仅是取得极值的必要条件，但不是充分条件.3-4函数的极值使为零的点称为函数f(x)的驻点.可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点.但函数f(x)的驻点却不一定是极值点.定理3.7是对函数在点x0处可导而言的,在导数不存在的点,函数可能取得极值,也可能没有极值.总之,函数的极值点必在函数的驻点或连续不可导的点中取得，但是，驻点或导数不存在的点不一定是函数的极值点.下面介绍函数极值的充分条件，给出求函数的极值的具体方法.3-4函数的极值3-4函数的极值应用定理3.7、3.8求函数极值点和极值的步骤如下：3-4函数的极值3-4函数的极值3-4函数的极值定理3.9(极值第二充分条件)设函数在点处有二阶导数，且，那么(1)若，则函数在点处取得极大值；(2)若，则函数在点处取得极小值；3-4函数的极值3-4函数的极值3-5曲线的凹凸和拐点在研究函数图形特性时,只知道它的上升和下降性质是不够的,还要研究曲线的弯曲方向问题.讨论曲线凹凸性就是讨论曲线的弯曲方向问题，定义3.1如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称此曲线弧是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称此曲线弧是凸的.3-5曲线的凹凸和拐点一、曲线的凹凸3-5曲线的凹凸和拐点如何判别曲线在某一区间上的凹凸性呢？若曲线是凸弧，则当x由小变大时，x轴与曲线的切线的夹角是减小的，即切线的斜率是递减的；若曲线是凹弧，则当x由小变大时，x轴与曲线的切线的夹角是增大的，即切线的斜率是递增的.从而我们可以根据函数的一阶导数是递增的还是递减的，或根据原来函数的二阶导数是正的还是负的来判别曲线弧的凹凸性.3-5曲线的凹凸和拐点(2)若时，恒有，则曲线在上的图形是凸的.(1)若时，恒有，则曲线在上的图形是凹的；定理3.6（曲线凹凸性的判别法）设函数在闭