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云南省大理市2023-2024学年高一下学期6月期末质量检测数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1.甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与,且每次射击命中与否互不影响,现两人玩射击游戏,规则如下:每次由1人进行射击,若射击一次不中,则原射击人继续射击,若射击一次命中,则换对方接替射击,且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为()
A. B. C. D.
2.已知z满足,则()
A. B. C. D.
3.在复平面内,复数的共轭复数的虚部为()
A. B. C. D.
4.已知向量,,则在上的投影向量的坐标为()
A. B. C. D.
5.已知一个圆柱的高不变,它的体积扩大为原来的9倍,则它的侧面积扩大为原来的()
A.倍 B.3倍 C.倍 D.9倍
6.如图,在中,D是的中点,G是的中点,过点G作直线分别交,于点M,N,且,,则的最小值为()
A.1 B.2 C.4 D.
7.对于两条不同直线m,n和两个不同平面,,以下结论中正确的是()
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
8.数学中有许多形状优美,寓意独特的几何体,“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图,在勒洛四面体中,正四面体的棱长为4,则下列结论正确的是()
A.勒洛四面体最大的截面是正三角形
B.若P、Q是勒洛四面体表面上的任意两点,则的最大值为2
C.勒洛四面体的体积是
D.勒洛四面体内切球的半径是
二、多项选择题
9.给定两组数据,其中第一组数据,,,,的平均数是4,方差是,第二组数据,,,,,则对第二组数据分析正确的有()
A.和是58 B.平均数是10
C.方差是 D.标准差是1
10.下列说法正确的是()
A.
B.若,则与的夹角是钝角
C.向量,能作为平面内所有向量的一个基底
D.若,则在上的投影向量为
11.如图,在中,,,,点D为的中点,,,与交于点G,,则下列结论正确的是()
A.当时, B.当时,
C.当时, D.若,则
三、填空题
12.已知三个复数,,,且,,,所对应的向量,满足;则的最大值为_________.
13.已知平面向量与的夹角为,若恒成立,则实数的取值范围为_________.
14.相看两不厌,只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊,其上有一座太白独坐楼(如图(1)),如图(2),为了测量该楼的高度AB,一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得,,,在C点处测得该楼顶端A的仰角为,则该楼的高度AB为_________m.
四、解答题
15.已知复数,且为纯虚数.
(1)求复数;
(2)若,求复数及.
16.已知非零向量,不共线.
(1)如果,,,求证:A,B,D三点共线;
(2)若和是方向相反的两个向量,试确定实数k的值.
17.第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办,这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务,招募了100名志愿者,并分成医疗组和服务组,根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.
(1)试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数;
(2)已知医疗组40人,服务组60人,如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人,再从这5人中选取3人组成综合组,求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.
18.已知a,b,c分别为锐角三角形三个内角A,B,C的对边,且.
(1)求A;
(2)若,D为的中点,求中线的取值范围.
19.如图,在正三棱柱中,,M,N,P分别是,,的中点.
(1)若点E为矩形内动点,使得面,求线段的最小值;
(2)求证:面.
参考答案
1.答案:C
解析:记第i次射击由甲射击,且命中为事件,第i次射击由乙射击,且命中为事件.
由题知,第一次由甲射击且前4次中甲恰好射击3次有6种情况:
,,,,,,
所以所求概率
.
故选:C.
2.答案:A
解析:依题意,设,则,
因为,
所以由,可得,
则,
所以,解得,
所以.
故选:A.
3.答案:B
解析:根据题意可知,
则,所以其虚部为.
故选:B.
4.答案:D
解析:因为,,
所以在上的投影向量的坐标为.
故选:D.
5.答案:B
解析:设圆柱的高为h,底面半径为r,则其体积,侧面积为;
设体积扩大9倍后的底面半径为,则,,
其侧面积变为,,即侧面积扩大为原来的3倍.
故选:B.
6.答案:A
解析:因为G是的中点,且,,
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