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河南省鹤壁市高中2023-2024学年高二下学期第四次质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且，，命题甲：若，则事件A与B相互独立；命题乙：“A与B相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题（????）

A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题

C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题

2．设，，，则，，的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

3．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

4．从0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（????）

A． B． C． D．

5．已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（????）

A．若，，则 B．若，，，，则

C．若，，则 D．若，，则

6．已知函数，则函数满足

A．最小正周期为 B．图象关于点对称

C．在区间上为减函数 D．图象关于直线对称

7．已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

8．已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（????）

A． B．

C． D．

10．已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（?????）.

A．有相同的焦距 B．有相同的焦点

C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线

11．公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（????）

A． B．时，的最小值为2022

C．有最大值 D．时，的最大值为4043

三、填空题

12．已知，，则．

13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中直线与平面所成角的正弦值为．

14．已知是数列的前项和，，且，，，则.

四、解答题

15．已知函数.

(1)求函数的值域；

(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

16．杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值及这组数据的第百分位数；

(2)按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率．

17．已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，.

(1)证明：平面平面；

(2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值.

18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；

(3)若，且，求的最大值．

19．函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数在处的极限定义如下：，存在正数，当时，均有，则称在处的极限为A，记为，例如：在处的极限为2，理由是：，存在正数，当时，均有，所以.已知函数，，（，为自然对数的底数）.

(1)证明：在处的极限为；

(2)若，，，求的最大值；

(3)若，用函数极限的定义证明：.

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参考答案：

1．B

【分析】结合对立事件概率公式和条件概率公式由可推出，由此判断命题甲，结合独立事件概率公式，条件概率公式判断命题乙的条件与结论的关系，判断命题乙，由此可得结论.

【详解】因为，

所以，

所以，故，

所以事件A与B相互独立，命题甲正确，

若A与B相互独立，则与相互独立，与相互独立，

，

，

所以，

若，所以，

所以，

所以

所以，

所以，

，故事件与事件相互独立，

所以事件与事件相互独立，

所以“A与B相互独立”是“”的充分必要条件，

所以命题乙为假命题，

故选：B.

2．C

【分析】根据三个式子的结构，构造函数，求导判断单调性，进而比较，，的大小，即可得，，的大小关系.

【详解】令，则，

，，

由可得且，

由可得；