研究生《数值分析》考卷参考答案.doc

2010-2011学年研究生《数值分析》

参考答案与评分标准

一、〔10分〕〔1〕误差产生的来源主要是哪几方面？

〔2〕设，求函数的相对误差界。

解：〔1〕误差产生的来源主要是模型误差、观测误差、舍入误差、截断误差。

〔2〕近似数，绝对误差限，自变量的相对误差限为

。

函数值的绝对误差

，

所以函数值的相对误差

代入得数据，可取函数值相对误差限为：

。

二、〔10分〕设，，是以为节点的Lagrange插值基函数，试证：

(1)

(2)设为任意首项次数为1的次多项式，那么

，

其中。

证明：〔1〕考虑函数〔其中〕，利用Lagrange插值余项公式有

即

，=1\*GB3①

其中介于，之间。

当时，，，于是由式=1\*GB3①得，

取既得；

当时，，，于是由式=1\*GB3①得，

取既得；

当时，，，于是由式=1\*GB3①得，

取既得。

(2)假设为任意首项次数为1的次多项式，那么，那么利用Lagrange插值余项公式有

即。

三、〔15分〕1、表达3次样条的定义；

2、确定参数、、、、的关系，使得函数是3次样条函数，其中

为了使函数满足条件

，，

求确定参数、、、、的值。

解：1、假设函数在定义区间〔也可以是开区间〕上二阶导数连续，且在在每个小区间〔〕上是三次多项式，其中是给定的节点，那么称是节点上的3次样条函数。

2、由

可得

为了使函数是3次样条函数，当且仅当

，

即，，可以任意取值。

为了使函数满足条件，，，根据上面推导过程，可得

结合，可得

，，。

四、〔15分〕设、，分别定义

〔1〕；

〔2〕；

问这两种定义是否构成内积？

解：〔1〕由结合定积分线性性，可得

，

，其中为常数，

，

但不满足“，当且仅当时”，这是因为

只能推出，即为常数，但不一定为0，故不构成内积。

〔2〕由，结合定积分线性性和四那么运算法那么，可得

，

，其中为常数，

，

下面考察第4条“，当且仅当时”。由于

，

当时，那么有

；

反之，假设，那么必有，即

满足内积公理的四个条件，所以它构成内积。

五、〔10分〕确定参数、、，构造下面积分公式，使其代数精度尽可能高，并指出其代数精度

。

解：由于对称性，上述积分公式对于奇次幂函数显然成立。求积公式有三个待定参数，即、、，将，分别代入求积公式，令其左右相等，拟解得三个待定参数。

设积分公式对成立，得

即

；

类似，设积分公式对成立，得

；

设积分公式对成立，得

。

解联立方程组

得，，，于是积分公式为

。

对于积分公式显然成立。对于，

左边=，

右边=

，

所以积分公式对不成立，从而求积公式具有5次代数精度。

六、〔15分〕线性方程组为

，

〔1〕求及；

〔2〕利用列主元消去法求解线性方程组；

〔3〕讨论Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。

解：〔1〕由

得

，。

〔2〕用列主元消去法求解线性方程组，其消元过程为

，

回代，得

，

，

，

〔3〕由于矩阵

的对角元素，所以不能用Gauss-Seidel迭代格式计算。

七、〔10分〕考虑非线性方程，，显然有根和，讨论利用Newton法解方程的收敛速度。

解：Newton法求解此方程的迭代函数为

，

其导数与二阶导数为

，

，

显然

，，

但是不存在，。根据收敛速度判别定理，利用Newton法求解此方程的根是2阶收敛的；对于根收敛速度判别定理失效。考虑极限

当时，

，

根据收敛速度定义可知，利用Newton法求解此方程的根收敛速度是阶。

八、〔15分〕用梯形方法解初值问题

证明：〔1〕其近似解为；

〔2〕当，不变时，它收敛于原初值问题的准确解。

证明：初值问题

的解显然为。利用梯形格式

=

得

即

，

于是

，

即。

〔2〕当，不变时，有

，

即收敛于原初值问题的准确解。