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学习内容
有界性、最值定理
第十一讲零点定理、介值定理
小结
一有界性与最值定理
1.最大值、最小值的定义
定义设f(x)在区间I上有定义,若存在点xI,使得当xI时,
恒有f(x)f(x)(f(x)≥f(x)),
0
则称f(x)(小)
为函数f(x)在区间I上的最大值,
记为f(x)maxf(x)(f(x)minf(x)).
0
xIx∈I
例:y1sinx,在[0,2]上,ymax2,ymin0;
2.有界性和最大值、最小值定理
定理1在闭区间上连续的函数在该区间上有界,且一定取得
最大值和最小值.
如图:若f(x)在[a,b]上连续,
y
则,[a,b],使得x[a,b],yf(x)
12
有f()f(x),f()f(x).
f()为最小值.
故f()为最大值,
所以f(x)在[a,b]上是有界的.Oa21bx
注意
1.若函数在开区间内连续,或在闭区间上有间断点,
则在该区间上不一定有界,也不一定有最大最小值.
如:
函数ytanx在(-,)上连续,但在其上无界,
y
也没有最大值或最小值.yf(x)
x1,0x1,1
又如:yf(x)1,x1,
O12
x3,1x2x
在闭区间[0,2]上不连续,没有最大最小值,但是有界.
2.“闭区间”和“连续性”仅是定理的充分条件,而不是必要条件.
如函数ysinx在开区间(0,2)内连续,但它在x处取得
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