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对称性质的应用
把一个图形沿着某条直线对折,如果能与另一个图形完全重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫这两个图形的对称轴.轴对称具有如下性质:(1)这两个图形全等;(2)对称轴是对应点连线的垂直平分线.这此性质可用于作图和解决有关计算、证明问题
例题1如图1在河流L的同旁居有两个村庄M、N,两村的人们要在河岸上修建一座水塔供两村的人们吃水问水塔修在哪一点使供水管道最短在图上作出该点
作法:1.作点M关于L的对称点M′;
2.连结M′N,交L于点A,点A就是所求作的加水点证明:在上L另选一点B,连接MB,M′B,NB,MA.
因为L垂直平分MM′,故MA=M′A,MB=M′B,则MA+NA=M′A+NA=M′N在ΔM′BN中,M′B+BNM′N
则MB+NBMA+NA
故在点A处修建水塔可使供水管道最短
例2(如图2)折叠矩形ABCD纸片先折出折痕(对角线)BD,
再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,若AB=2,BC=1,求AG.
5解:作GA′⊥BD垂足为A′,依题意得ΔDAG与ΔDA′G关于DG轴对称,故△DAG≌△
5
5DA′G设AG=X,则GA′=X,GB=2-X,因为AB=2,BC=1,故DB=
5
,A′B=
—1，
5在RT?BGA′中X2+（ ─1）2=(2─X)2,
5
故AG=X=5 1
2
例3(如图3)把矩形ABCD纸对折,设折痕为MN,再把点B叠在折痕线上得RTΔABE沿EB线折叠提到F点.求证:ΔEAF是等边三角形.
证明:因为EC∥PN∥AD,CN=ND,故BE=BF，
又AB⊥EF,则AE=AF,将原矩形补完整,得RtΔAQE
易证RtΔAQE≌RtΔABE≌RtΔABF.故∠1=∠2=∠3=30°,
∠EAF=60°,则ΔEAF.是等边三角形
例4已知(如图4)BD平分∠ABC,且DA=DC,BCAB
求证:∠A+∠C=180°
证明:在BC上截取BE=BA,连结DE,则?ABD≌?EBD,
故∠A=∠1,AD=ED.
又AD=DC,则ED=DC,∠2=∠C,∠1+∠2=180°,
故∠A+∠C=180°
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