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重难点02三角形与特殊三角形
考点一:三角形的基础知识
三角形的基础知识是学习三角形后续知识的基础,也是其他几何图形学习的基础,虽然中考中单独考察的几率不是很大,但是它却可以融合在其他图形中辅助解题。特别是三角形内角和定理、外角定理、角平分线的性质、线段中垂线的性质,都是解决几何问题中不可或缺的辅助手段,也更需要我们重视这块知识的复习。
题型01三角形的内角和与外角定理
易错点:三角形内角和定理:三角形三个内角的和=180°
三角形外角定理:三角形的一个外角=与它不相邻两个内角的和
三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系;即使是其他多边形,也常转化为三角形求角度;
【中考真题练】
1.(2023?十堰)一副三角板按如图所示放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC=100°.
【分析】由题意可得∠BAC=60°,∠C=30°,∠D=45°,由平角的定义可求得∠CAD=85°,再由三角形的内角和可求得∠AGD=50°,利用对顶角相等得∠CGF=50°,再利用三角形的内角和即可求∠DFC.
【解答】解:如图,
由题意得:∠BAC=60°,∠C=30°,∠D=45°,
∵∠EAB=35°,
∴∠CAD=180°﹣∠EAB﹣∠BAC=85°,
∴∠AGD=180°﹣∠D﹣∠CAD=50°,
∴∠CGF=∠AGD=50°,
∴∠DFC=180°﹣∠C﹣∠CGF=100°.
故答案为:100°.
2.(2023?聊城)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为()
A.65° B.75° C.85° D.95°
【分析】由平行线的性质可求∠ADC得度数,再利用三角形的内角和定理可求解.
【解答】解:∵AD∥BE,
∴∠ADC=∠EBC=80°,
∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°,∠CAD=25°,
∴∠ACB=180°﹣25°﹣80°=75°,
故选:B.
3.(2023?遂宁)若三角形三个内角的比为1:2:3,则这个三角形是直角三角形.
【分析】设这个三角形最小的内角是x°,则另外两内角的度数分别为2x°,3x°,利用三角形内角和是180°,可得出关于x的一元一次方程,解之可求出x的值,再将其代入3x°中即可得出结论.
【解答】解:设这个三角形最小的内角是x°,则另外两内角的度数分别为2x°,3x°,
根据题意得:x+2x+3x=180,
解得:x=30,
∴3x°=3×30°=90°,
∴这个三角形是直角三角形.
故答案为:直角.
4.(2023?株洲)《周礼?考工记》中记载有:“…半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是:“…直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘…”即:1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C=22.5度.
【分析】根据题意可知:∠A=90°,∠B=67.5°,然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数.
【解答】解:∵1宣=矩,1欘=1宣,1矩=90°,∠A=1矩,∠B=1欘,
∴∠A=90°,∠B=1××90°=67.5°,
∴∠C=180°﹣90°﹣∠B=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°,
故答案为:22.5.
5.(2023?徐州)如图,在△ABC中,若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则∠C=55°.
【分析】根据平行线的性质,三角形内角和定理进行计算即可.
【解答】解:∵DE∥BC,∠BDE=120°,
∴∠B=180°﹣120°=60°,
∵FG∥AC,∠DFG=115°,
∴∠A=180°﹣115°=65°,
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠A=55°,
故答案为:55.
【中考真题练】
1.(2024?盐城模拟)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为()
A.105° B.75° C.65° D.55°
【分析】根据三角形的外角性质解答即可.
【解答】解:由三角形的外角性质可知:∠α=30°+45°=75°,
故选:B.
2.(2023?新邵县校级一模)如图,在△ABC中,延长AB至D,延长BC至E如果∠1+∠2=230°,则∠A=50°.
【分析】由三角形的外角性质可得∠1=∠A+∠ACB,∠2=∠A+∠ABC,再结合∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,从而可求∠A的度数.
【解答】解:∵∠1,∠2是△ABC的外角,
∴∠1=∠A+∠ACB,∠2=∠A+∠ABC,
∵∠1+∠2=230°,
∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=230°,
即2∠A+∠ACB+∠ABC=230°,
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