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第五讲概率及其正态分布
¨后验概率(或统计概率)¨当n无限增大时,随机事件A的频率会稳定在
先验概率(古典概率)古典概率模型要求满足两个条件:¨⑴试验的所有可能结果是有限的;¨⑵每一种可能结果出现的可能性相等。
1.任何随机事件A的概率都是在0与1之间的正数,即2.不可能事件的概率等于零,即P(A)=03.必然事件的概率等于1,即P(A)=1
三.概率的加法定理和乘法定理¨若事件A发生,则事件B就一定不发生,¨两互不相容事件和的概率,等于这两个
¨两个互相独立事件积的概率,等于这两个
¨例1:某一学生从5个试题中任意抽取一题,进行口试。如果抽到每一题的概率为1/5,则抽到试题1或试题2的概率是多少?如果前一个学生把抽过的试题还回后,后一个学生再抽,则4个学生都抽到试题1的概率是多少?
计算¨抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题¨四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题,其概率应为抽到第一题的概率的乘积,即
¨例2:从30个白球和20个黑球共50个球中随机抽取两次(放回抽样),问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少?
¨抽出一个白球的概率为3/5,抽出一个黑¨抽出一个黑球和一个白球的情况应包括先抽出一个黑球、后抽出一个白球和先抽出一个白球、后抽出一个黑球两种情况。因此:
¨概率分布(probabilitydistribution)是指对随机变量取不同值时的概率的描述,一般用概率分布函数进行描述。¨依不同的标准,对概率分布可作不同的分
2、经验分布与理论分布¨依分布函数的来源,可将概率分布分为经验分布与理论分布。¨经验分布(empiricaldistribution)是指根据观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。
3、基本随机变量分布与抽样分布¨依所描述的数据的样本特性,可将概率分布分为基本随机变量分布与抽样分布(samplingdistribution)。¨基本随机变量分布是随机变量各种不同取值情况的概率分布,抽样分布是从同一总体内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
¨二项分布(bionimaldistribution)是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布,它是由贝努里创始的,因此又称为贝努里分布。
¨一次试验只有两种可能的结果,即成功¨各次试验相互独立,即各次试验之间互¨各次试验中成功的概率相等,失败的概率也相等。
¨二项分布是一种离散型随机变量的概率¨用n次方的二项展开式来表达在n次二项试验中成功事件出现的不同次数(X=0,1…)的概率分布,叫做二项分布函数。
二项展开式的通式(即二项分布函数):
¨方次:p的方次,从n→0为降幂;q的方次从0→n为升幂。每项p与q方次之和等于n。¨系数:各项系数是成功事件次数的组合数。
例3:从男生占2/5的学校中随机抽取6个学生,问正好抽到4个男生的概率是多少?最多抽到2个男生的概率是多少?
最多抽到2个男生的概率,等于1个也没有抽到、抽到1个和抽到两个男生的概率之和,即
¨以成功事件出现的次数为横坐标,以成功事件出现不同次数的概率为纵坐标,绘制直方图或多边图,即为二项分布图。
¨②.当p≠q时,直方图呈偏态。p>q与p<q时的偏斜方向相反。
4.二项分布的平均数和标准差¨如果二项分布满足p>q且nq≥5(或者p<q且np≥5时,二项分布接近于正态分布。可用下面的方法计算二项分布的平均数和标准差。¨二项分布的平均数为(5.8)¨二项分布的标准差为(5.9)
¨二项分布函数除了用来
¨例如,一个学生凭猜测做10个是非题,平均可以猜对5题。什么情况下可以说他是真会而不是猜测呢?¨这种问题需要用累积概率来算。当做对8题或8题以上时,累积概率为0.989,也就是说,猜对9题或10题的概率不足0.05。
表5-1一个学生做10个正误题做对不同题数的概率分布
¨例题:一个教师对8个学生的作业成绩进行猜测,如果教师猜对的可能性为1/3,问:¨⑵.假如规定猜对95%,才算这个教师有一定的评判能力,那么这个教师至少要猜对几个学生?
¨什么是概率?什么是概率分布?¨什么是概率的加法定理和乘法定理?¨二项分布有哪些应用?看书:161—175,182—191页
再见!
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