概率论与数理统计JA课件.pptVIP

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律§2中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律?大数定律的定义?切比晓夫大数定律?贝努里大数定律?辛钦大数定律

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？这里反映了什么样的客观统计规律呢？我们把这问题给出数学表达：如果工件的真值为

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律测量的经验就是：即大量测量值的算术平均值具有稳定性。这就是大数定律所阐述的。

第五章大数定律及中心极限定理一、定义定义1§1大数定律若对任意想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列收敛性的区别。

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律定义2对任意

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律定理1回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律定理2（切比晓夫大数定律）且具有相同的数学期望及方差，

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律证：由切比晓夫不等式得：思考：能否把定理中独立性条件减弱？

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律定理3（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律)证：令

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律由定理2有该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律定理4（辛钦大数定律）且具有数学期望注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。思考：比较辛钦大数定律与切比晓夫大数定律条件的差别及强弱。

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理?定义?独立同分布的中心极限定理?德莫佛-拉普拉斯定理?用频率估计概率时误差的估计

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理一、定义

第五章大数定律及中心极限定理二、中心极限定理定理1(列维-林德伯格定理）（Levy-Lindberg)（独立同分布的中心极限定理）§2中心极限定理中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）(DeMoivre--Laplace)证明：由二项分布和两点分布的关系知其中相互独立且都服从于两点分布，且由定理1有结论成立。

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理推论：说明：这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法。

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理例1车间有台车床，它们独立地工作着，开200工率为0.6,开工时耗电各为2千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以不低于99.9%的概率保证这个车间正常生产。解：记某时刻工作着的车床数为X，则X~B(200,0.6).设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。由题意有

第五章大数定律及中心极限定理即供给282千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。

第五章大数定律及中心极限定理用频率估计概率时误差的估计：§2中心极限定理由上面的定理知用这个关系式可解决许多计算问题。

第五章大数定律及中心极限定理第一类问题是§2中心极限定理第二类问题是问最少应做多少次试验？这时只需求满足下式的最小的n,第三类问题是

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理例2今从良种率为的种子中任取粒，问能1/66000以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？解：由德莫佛-拉普拉斯定理

第五章大数定律及中心极限定理故近似地有

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理良种粒数X的范围为

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理例3系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。解：设X是损坏的部件数，则X~B(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当由德莫佛-拉普拉斯定理有

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理例4一加法器同时收到20个噪声电压，设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，记

第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理例5一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。解：设最多可装n箱，保障不超载的概率大于0.977。由中