概率论随机变量的数字特征课件.pptVIP

概率论第三章随机变量（向量）的数字特征§3.1随机变量的数学期望§3.2随机变量的方差§3.3协方差与相关系数

为了完整的描述随机变量的统计特性，自然应该知道其分布函数，因为随机变量的分布函数可以反映随机变量取值的规律。但是在实际问题中，一方面随机变量的分布或分布函数并不都是容易求得的，另一方面，往往也不需要知道随机变量的详尽的概率分布，而仅需要知道其某些特征就够了。例如，为了解一个国家或地区人们的生活水平，我们并不需要知道该国家或地区每人的消费标准，而只需要知道每人每年的平均消费量以及每人每年消费量与平均消费的偏离程度。又如评价一批灯泡的质量，人们关

心的是该批灯泡的平均寿命以及灯泡寿命与平均寿命的偏离程度，平均寿命长，灯泡之间寿命差异小，该批灯泡质量就好。了解某个班某门课程的学习成绩，既关心该班的平均成绩，也关心成绩之间的分散程度……。在概率论中，把描述随机变量某些特征的数叫做随机变量的数字特征。数学期望（或均值）与方差是随机变量最重要的两个数字特征。本章介绍数学期望、方差、相关系数等概念。

§3.1随机变量的数学期望MathematicalExpectation引例:设7位同学某门课程的成绩为:90,85,85,80,80,75,60,则他们该门课程的平均成绩为以频率为权重的加权平均，反映了这7位同学该门课程成绩的平均状态。

一般的，设变量有个取值,其中不同的取值有个不妨设前个取值互不相同,且取不同值的频数为,则n个值的平均值为上式表示:随机变量的平均值等于其所有可能取值与取相应值的概率乘积之和.把上式推广得到随机变量的数学期望的概念.

一、数学期望的定义1.离散型随机变量的数学期望Def设离散型随机变量的概率分布为例3.1已知随机变量X的分布律为4561/41/21/4求数学期望解：由数学期望的定义

2.连续型随机变量的数学期望Def设连续型随机变量的概率密度为，若广义积分例3.2设随机变量的概率密度函数为求的数学期望。解：

二、几个常见的随机变量的数学期望1.等概分布…………由数学期望的定义2.两点分布01由数学期望的定义

3.二项分布若随机变量，其概率函数为该式可以直接按照离散型随机变量的数学期望的定义证明，也可以按照数学期望的性质证明（见后）。4.泊松分布已知随机变量

5.超几何分布若随机变量

6.均匀分布若随机变量

7.指数分布若随机变量

8.正态分布

三、二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望1.(X,Y)为二维离散型随机变量2.(X,Y)为二维连续型随机变量

例3.3设(X,Y)的联合密度为31解：1

四、随机变量函数的数学期望1.一元随机变量函数的情况设是随机变量的函数，X（1）离散型（2）连续型

该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例3.4解：因为

2.二元随机变量函数的情况（1）离散型（2）连续型

例3.5例3.6设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为

五、随机变量数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)2.若k是常数，则E(kX)=kE(X)；不一定能推出X,Y独立3.4.设X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；证明：这里只证明性质3,4

利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。

5.若随机变量的取值非负,且存在,则推论:6.设的数学期望存在,则有证明:对于任意的实数,由于这个不等式称作Cauchy-Schwarz不等式.

例3.7设随机变量X~B(n,p)，求二项分布的数学期望。解：X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。

例3.8独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p和1p.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为p+p221解设产生故障的仪器数目为X则X的所有可能取值为0,1,2:所以，产生故障的仪器数目的数学期望

六、条件数学期望1.离散型随机变量的条件数学期望Def设离散型随机变量在的条件下概率函数为下的条件数学期望，简称条件期望，记作，即类似的，随机变量在的条件下的条件期望为

2.连续型随机变量的条件数学期望Def设连续型随机变量在的条件下的条件概率密度函数为，又类似的，随机变量在的条件下的条件数学期望为。无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，在给定条件下的数学期望为的函数，记作数学期望为的函数,记作.在给定条件下的.

3.条件数学期望的性质条件数学期望具有与数学期望类似的性质下面以连续性随机变量为例,只对性质4给出证明,其余性质的证明与之类似.

七、中位数D