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板块一勾股定理及其逆定理

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1．勾股定理的内容

a,bc222

如果直角三角形的两直角边分别是，斜边为，那么abc．即直角三角形中两直角边的平

方和等于斜边的平方．

注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边．

——————

1

A

c

b

BaC

勾股定理反映了直角三角形中三边间的关系，因此利用它可以解决有关边长的计算问题，也可以

图2

解决与直角三角形有关的一些平方关系的证明问题．

一些常见的直角三角形的边长之比有：1:1:2（对于等腰直角三角形），1:3:2（对于有一个角

3:4:55:12:13

是的直角三角形），，等，熟记这些结论有助于快速计算直角三角形的边长．

30

2．勾股定理的证明：

⑴方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

221222

S正方形ABCDabc4ab∴abc

2

⑵方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

221222

Scab4ab∴abc

正方形EFGH

2

⑶方法三：总统法．如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

“”

(ab)(ab)112222

S2abc∴abc

梯形ABCD

222

2

3．勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即

在ABC中，如果222，那么ABC是直角三角形．

ACBCAB

ABCABcBCaACb

利用此定理可以判断三角形的形状，在中，设，，．

222C

⑴若cab，则角是锐角；

22