无穷级数与函数逼近市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

无穷级数与函数迫近孙永健制作二○○四年二月第1页第1页

无穷级数与函数迫近级数和演示函数幂级数展开傅立叶级数第2页第2页

定义称为级数前n项和(n=1,2,···).简称部分和.由此可由无穷级数，得到一个部分和数列若存在，则称级数收敛，并称此极限值S为级数和，记为.若不存在，则称级数发散.第3页第3页

例1：观测部分和序列改变趋势，并求和。级数和演示第4页第4页

解：第5页第5页

程序1S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}]data=Table[S[n],{n,100}];ListPlot[data]第6页第6页

运营后图象第7页第7页

图1第8页第8页

程序1

再求出其和来S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}]data=Table[S[n],{n,100}];ListPlot[data]N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]第9页第9页

运营后得其和近似值为1.644934066848第10页第10页

例2求和第11页第11页

第12页第12页

程序2

s[n_]:=Sum[(-1)^k/k^2,{k,n}]d=Table[s[n],{n,100}];ListPlot[d]N[Sum[(-1)^n/n^2,{n,1,Infinity}]]第13页第13页

图2第14页第14页

图3第15页第15页

运营后得其和近似值为-0.82246703342411321第16页第16页

例3求幂级数和。第17页第17页

程序3

Sum[x^n/(n*3^n),{n,1,Infinity}]第18页第18页

运营后结果第19页第19页

函数幂级数展开

例4写出函数f(x)=sinx幂级数展开式，并利用图形考察幂级数部分和迫近函数情况。第20页第20页

解：幂级数展开必为：即为Maclaurin级数第21页第21页

展开式为第22页第22页

故sinx可展开为第23页第23页

程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]第24页第24页

程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange-{-1.1,1.1},PlotStyle-{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}]第25页第25页

运营后图象

第26页第26页

图4第27页第27页

图5第28页第28页

图6第29页第29页

图7第30页第30页

图8第31页第31页

结论1 从这些图能够比较清楚地看到幂级数展开式前n项部分和迫近函数情况，这里n=9，在区间[-π,π]上幂级数与函数本身看起来已没有什么差别。我们再来看分别在闭区间[-π,π]和[-2π,2π]上在同一个坐标系中这些图象情况第32页第32页

程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange-{-1.1,1.1},PlotStyle-{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}]t=Table[s[n,x],{n,1,9,2}];Plot[Evaluate[t],{x,-Pi,Pi}]Plot[Evaluate[t],{x,-2Pi,2Pi}]第33页第33页

运营后图象第34页第34页

图9第35页第35页

图10第36页第36页

图11第37页第37页

结论2从图中可看到，函数幂级数展开式前n项部分和函数迫近函数程度，伴随n增大而提升。但对于拟定n而言，它只在展开点附近一个局部范围内才有较好近似准确度。第38页第38页

傅立叶级数自然界中许多现象是周期性重复，比如，声波是空气粒子周期性振动而产生，人们呼吸时肺部运动和心脏跳动也是周期性，交流电也表达了周期改变。对