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第四章赋范线性空间与矩阵范数
4.1向量范数与矩阵范数1.向量范数2.矩阵范数
?1.向量范数
??
?
??我们可以证明如下结论定理1有限维线性空间上的不同范数是等价的。
?2.矩阵范数
与向量范数情形一样,矩阵也可以有各种各样的范数,而且矩阵范数常和向量范数混合在一起使用,因此考虑一些矩阵范数,应当使它们与向量范数联系起来,于是给出如下概念。??
?
???
??
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4.3范数和误差分析1范数和条件数(NormandConditionNumber)2数据扰动分析(PerturbationAnalysis)
1范数和条件数引例病态方程组:数据小扰动?解大误差。注意:两组解都是相应方程组的精确解,没有计算误差
向量范数(VectorNorms)?
矩阵范数(MatrixNorms)?
常用矩阵范数相容性:||Ax||v?||A||v||x||v,v=1,2,?||Ax||2?||A||F||x||2
范数的等价性?
病态方程组
(ill-conditionalsystemoflinearequations)病态方程组:系数矩阵条件数很大引例
2数据扰动分析右端数据扰动Ax*=b,?A(x*+?x)=b+?b系数矩阵扰动(A+?A)(x*+?x)=b病态方程组:数据小扰动?解大误差。
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