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(网络参考版)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试卷全国甲卷(答案不全)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1.若,则()
A. B. C.10 D.-2
2.已知集合,,则()
A. B. C. D.
3.若实数x,y满足约束条件,则的最小值为()
A. B.0 C. D.
4.记等差数列的前n项和,若,,则()
A. B. C. D.
5.已知双曲线的两个焦点分别为,,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()
A.4 B.3 C.2 D.
6.设函数,则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
A. B. C. D.
7.函数在区间的大致图像为()
A. B.
C. D.
8.已知,则()
A. B. C. D.
9.已知向量,,则()
A.是的必要条件 B.是的必要条件
C.是的充分条件 D.是的充分条件
10.设,为两个平面,m,n为两条直线,且.下述四个命题:
①若,则或
②若,则或
③若且,则
④若n与,所成的角相等,则.
其中所有真命题的编号是()
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
11.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,则()
A. B. C. D.
12.已知b是a,c的等差中项,直线与圆交于A,B两点,则的最小值为()
A.1 B.2 C.4 D.
二、填空题
13.的展开式中,各项系数中的最大值为_________.
14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为,圆台的母线长分别为,,则圆台甲与乙的体积之比为_________.
15.已知且,则_________.
16.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于的概率为_________.
三、解答题
17.某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1)填写如下列联表:
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?()
附:,
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18.记为数列的前n项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
19.如图,已知,,,,,,M为CD的中点.
(1)证明:平面BCF;
(2)求二面角的正弦值.
20.已知函数.
(1)若,求的极值;
(2)当时,,求a的取值范围.
21.设椭圆的右焦点为F,点在C上,且轴.
(1)求C的方程;
(2)过点的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q.证明:轴.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)写出C的直角坐标方程;
(2)设直线l:(t为参数),若C与l相交于A,B两点,且,求a.
23.[选修4-5:不等式选讲]
已知实数a,b满足.
(1)证明:;
(2)证明:.
参考答案
1.答案:A
解析:因为,所以,故选A.
2.答案:D
解析:因为,,所以,故选D.
3.答案:D
解析:将约束条件两两联立可得3个交点:,和,经检验都符合约束条件.代入目标函数可得:,故选D.
4.答案:B
解析:因为,所以,,又因为,所以公差,,故选B.
5.答案:C
解析:,故选C.
6.答案:A
解析:因为,所以,,,故选A.
7.答案:B
解析:
8.答案:B
解析:因为,所以,,故选B.
9.答案:C
解析:,则,解得:或-3,故选C.
10.答案:A
解析:
11.答案:C
解析:因为,,所以.由余弦定理可得:,即:,,所以,,故选C.
12.答案:C
解析:因为a,b,c成等差数列,所以,直线恒过.当时,取得最小值,此时,,故选C.
13.答案:5
解析:展开式中系数最大的项一定在下面的5项:、、、、,计算可得:系数的最大值为.
14.答案:
解析
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