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点和圆的位置关系
知识网络
重难突破
知识点一点和圆的位置关系
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
dr?点P在⊙
点在圆上
点在圆周上
d=r?点P在⊙
点在圆内
点在圆的内部
dr?点P在⊙
典例1〔2022·满城县期中〕如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=4,以C点为圆心,2为半径作⊙C,那么AB的中点O与⊙C的位置关系是〔〕
A.点O在⊙C外 B.点O在⊙C上 C.点O在⊙C内 D.不能确定
【答案】B
【详解】解:连接OC,由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半,可得:
OC=12
应选B.
【名师点睛】要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系,此题可直角三角形斜边上的中线为斜边的一半算出点与圆心的距离d,那么dr时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当dr时,点在圆内.
典例2〔2022·邯郸市期末〕Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,如果以点A为圆心,AC为半径作⊙A,那么斜边中点D与⊙A的位置关系是〔〕
A.点D在⊙A外 B.点D在⊙A上 C.点D在⊙A内 D.无法确定
【答案】A
【解析】根据勾股定理求得斜边AB=4+16
那么AD=5
∵5
∴点在圆外.
应选A.
典例3〔2022·雨花台区期末〕点A在半径为r的⊙O内,点A与点O的距离为6,那么r的取值范围是〔〕
A.r<6 B.r>6 C.r≥6 D.r≤6
【答案】B
【详解】∵点A在半径为r的⊙O内,
∴OA小于r,
而OA=6,
∴r6.
应选:B.
【名师点睛】此题考查了点与圆的位置关系:点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
知识点二三点定圆的方法
经过点A的圆:以点A以外的任意一点O为圆心,以OA的长为半径,即可作出过点A的圆,这样的圆有无数个.
经过两点A、B的圆:以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心,以OA的长为半径,即可作出过点A、B的圆,这样的圆也有无数个.
3〕经过三点时:
情况一:过三点的圆:假设这三点A、B、C共线时,过三点的圆不存在;
情况二:假设A、B、C三点不共线时,圆心是线段AB与BC的中垂线的交点,而这个交点O是唯一存在的,这样的圆有唯一一个.
三点定圆的画法:
1〕连接线段AB,BC。
2〕分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O,此时OA=OB=OC,于是点O为圆心,以OA为半径,便可作出经过A、B、C的圆,这样的圆只能是一个。
定理:不在同一直线上的三点确定一个圆.
典例1〔2022·天桥区期末〕小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如下图,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是〔〕
A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块
【答案】B
【详解】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块,应选B.
【名师点睛】此题是确定圆的条件的根底应用题,在中考中比拟常见,一般以选择题、填空题形式出现,难度一般.
典例2〔2022·慈溪市期末〕数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如下图,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是〔〕
A.勾股定理
B.直径所对的圆周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【解析】由作图痕迹可以看出O为AB的中点,以O为圆心,AB为直径作圆,然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C,故∠ACB是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是:直径所对的圆周角是直角.
应选:B.
【考点】作图—复杂作图;勾股定理的逆定理;圆周角定理.
知识点三三角形的外接圆
1〕经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
2〕三角形外心的性质:
①三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等;
②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.
3〕外接圆圆心和三角形位置关系:
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部〔如图1〕;
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处〔即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半,如图2〕;
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部〔如图3〕.
典例1〔2022·滨河新区期末〕边长为1的正三角形的外接圆的半径为〔〕
A.12 B.32 C.3
【答案】C
【详解】如下图,连接OB,OC,过O作OD⊥BC;
∵BC=1
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