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高考常用公式及常用结论

高考常用公式及常用结论

元素与集合的关系

x?A?x?C

U

A,x?C

U

A?x?A.

德摩根公式

?C(A B)?C

?

U U

A CB;C

?U

?

(A B)?C

?U

?

A CB.

?U

?

包含关系

UA?B?A?A?B?B?A?B?C

U

B?C A

U

??A C

?

U

B???C

U

A?B?R

容斥原理

card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)

card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

集合{a,a,?,a

}的子集个数共有2n

个；真子集有2n–1个；非空子集有2n 1

1 2 n

个；非空的真子集有2n–2个.

二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);(2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0);

(3)零点式f(x)?a(x?x

1

)(x?x

2

)(a?0).

解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式

N?f(x)?M ?[f(x)?M][f(x)?N]?0

?|f(x)?M?N

|?M?N ?

f(x)?N?0

2 2 M?f(x)

? 1 ? 1 .

f(x)?N M?N

方程f(x)?0在(k,k

1 2

)上有且只有一个实根,与f(k

1

)f(k

2

)?0不等价,前者是后

者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程ax2?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在

(k,k

)内,等价于f(k

)f(k

)?0,或f(k

)?0且k

??b

k ?k

?1 2

,或f(k

)?0且

1 2

k ?k

1 2

1 2

??b ?k.

1 1 2a 2 2

2 2a 2

闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??b 处及区

2a

间的两端点处取得，具体如下：

当a0时，若x??

b??p,q?，则fx()

2a

nmi

?f(?

b

,)()fx

2a xmaxma

?(f,)p()?fq ?；

x??

b??p,q?，f(x)

2a

max

?

max

?f(p),f(q)?，f(x)

min

?

min

?f(p),f(q)?.

当 a0 时，若x??

b??p,q?，则 f(x) ? m?inf p( )f?,，q(若)

2a min

1

x??b??p,q?，则f(x)

2a

max

?max?f(p),f(q)?，f(x)

min

?min?f(p),f(q)?.

一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根.

设f(x)?x

2

px?q，则

?p2?4q?0

?

（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或??

p?m ；

?? 2

?f(m)?0

??f(n)?0

?

（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p2?4q?0

?

?m??p?n

?? 2

?f(m)?0 ?f(n)?0

? ?或? 或?

? ?

?af(n) 0 ?af(m) 0

?p2?4q?0

?

（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或??

p?m .

定区间上含参数的二次不等式恒成立的条?件依?据?

?? 2

? ? ?

在给定区间(??,??)的子区间L（形