概率统计大数定律与中心极限定理课件.pptVIP

第五章大数定律与中心极限定理w切比雪夫不等式w大数定律w中心极限定理

为研究随机现象的统计规律,进行大量重复实验中,当实验次数n→∞,率f在某种收意下(依概n率收)收敛于某一定数,这是大数定律所描述的内容.而其概率分布近似于某一分布(如正态分布),这称为中心极限定理.5.1切比雪夫(Chebyshev,俄罗斯)不等式定理5.1.1设随机变量X，E(X)=μ，D(X)=σ意的ε0，必有2，则对任或或等价于

切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知时，概率P(|X-E(X)|≥ε)的一个上限，当ε分别取时2σ，3σ，4σ时，有P(|X-E(X)|≥2σ)≤1/4P(|X-E(X)|≥3σ)≤1/9P(|X-E(X)|≥4σ)≤1/16

证明:以连续型为例.(离散的证明中相应积分号用和号代替).≥1推论:D(X)=0,则X以概率1为常数，即P(X=C)=1(C=EX)证明:

事件未必互不相容,但≤是成立的

例5.1已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解由切比雪夫不等式令

5.2大数定律一、依概率收敛设随机变量序列X,X,…,X，若存在随机变量Y，12n使得对于任意正数?，均有则称随机变量序列{X}依概率收敛于随机变量Y，并记n为若存在常数a，任意的正数?，使得则称随机变量序列{X}依概率收敛于常数a，并记为n

的区别时，X落在与意思是：当n内的概率越来越大。a而,当意思是：

二、几个常用的大数定律(1).切比雪夫大数定律设随机变量序列X,X,…,X,…相互独立，每一个随12n机变量都有数学期望E(X),E(X),…,E(X),…和有限的12n方差D(X),D(X),…,D(X),…，并且D(X)≤C(i=1,2,…)，12nn则任意正数?，几个随机变量的均值依概率收敛于它的期望即

证明因为X,X,…,X,…相互独立，12n由切比雪夫不等式可得该定理表明：相互独立的随机变量的算数平均值与数学期望的算数平均值的差在n充分大时是一个无穷小量，这也意味着在n充分大时，经算术平均后得到的随机变量的值将比较紧密地聚集在它的数学期望的附近。

切比雪夫大数定律的特殊情况:独立同分布大数定律设随机变量序列X,X,…,X,…相互独立，且具有相12n同的数学期望μ和相同的方差σ，记前n个随机变量的算2术平均为Y，n则随机变量序列Y,Y,…,Y,…依概率收敛于μ，即12n证明切比雪夫大数定律

(2).贝努利大数定律设进行n次独立重复(贝努利)实验,每次试验中事件A发生的概率为p，记n为n次试验中事件A发生的次数.则A即证明（由切比雪夫不等式可直接证明）

例5.2证明:随机变量序列{Y}依概率收敛于μ.n要证{Y}依概率收敛于μ,需证:n

(3)辛钦(Khinchine)大数定律：设为独立且同分布的随机变量序列，例5.3：设是独立且同分布的随机变量序列，如果记则且则在时依概率收敛于何值？解：显然满足Khinchine大数定律且故

5.3中心极限定理前面我们的讨论中讲过正态分布在随机变量的一切可能分布中占有特殊地位。在客观世界中，我们遇到的许多随机现象都是服从或近似服从正态分布的，为什么大量的随机变量都服从正态分布？俄国数学家李亚普诺夫(Ляпуров)证明了在某些非常一般的充分条件下，独立随机变量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分布的.在概率论中，把大量独立的随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理统称为中心极限定理。它反映的随机变量的特点是：对随机现象起作用的因素众多，但无突出的因素，诸因素的影响微小而均匀，随机变量ξ可以看作是各微小因素叠加的结果。ξ=?ξ，和的分布常常是正态的。ii我们这里给出的两个最常用的中心极限定理。

一、独立同分布的中心极限定理(Lindeberg-Levy林德贝格-列维)设随机变量X,X,…,X,…相互独立同分布，且12nE(X)=?，D(X)=σσ0)(i=1,2,…)，记前n个变量的和2(2i的标准化变量为i则Y的分布函数F(x)对任意的x∈(-∞,+∞)都有nn

该定理说明，当n充分大时，Y近似地服从标准正n态分布，Y~N(0,1)，n随机变量近似地服从于正态分布中心极限定理可以解释如下：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每个随机变量对于总和的作用都很微小，则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的。在实际工作中，只要n足够大，便可把独立同分布的随机变量之和当作正态变量。

例5.4将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解设X为