概率论与数理统计样本及抽样分布课件.pptVIP

第六章样本及抽样分布数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它是在一般统计所进行的数据整理的基础上，用概率论的方法科学地加工、提炼、并做出判断的一门数学学科。其主要思想方法是用局部推断整体。数理统计的内容非常丰富，从本章开始，我们将逐步介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容。1

§1随机样本在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一项数量指标，例如，人体身高、体重、产品合格率等。为此，考虑与这一数量指标相联系的随机试验，即选取一部分对象对这一数量指标进行试验或观察，根据获得的数据来推断全部对象的这些数量指标的分布情况。把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的各个元素称为个体，代表总体的指标X是一个随机变量，所以总体就是指某个随机变量X可能取的值的全体.2

总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量X的值，这样，一个总体对应于一个随机变量X。对总体的研究就是对一个随机变量X的研究，X的分布函数和数学特征就称为总体的分布函数和数学特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，统称为总体X.从总体中抽取若干个个体，就是对代表总体的随机变量X进行若干次观测，从总体中抽取若干个个体的过程称为抽样，抽样的结果称为样本，样本中所含个体的数量称为样本容量.3

为了使样本在尽可能大的程度上反映总体的特性，我们对样本有基本要求，从总体中抽取样本必须满足：(1)随机性为使样本具有充分的代表性，抽样必须是随机的，应使总体中的每一个个体都有同等的机会被抽取到.(2)独立性各次抽样必须是相互独立的，即每次抽样的结果既不影响其它各次抽样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响.4

称这种随机的、独立的抽样为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本.若是从总体中进行放回抽样，显然就是简单随机抽样，得到的样本就是简单随机样本；若从有限总体中进行不放回抽样，虽然不是简单随机抽样，但当总体容量N很大而样本容量n较小(n/N≤10%)时，可近似看作放回抽样，从而可近似看作简单随机抽样，得到的样本也可近似地作为简单随机样本.以后提到的抽样与样本均是指简单随机抽样与简单随机样本.5

从总体中抽取容量为n的样本，就是对代表总体的随机变量X随机地、独立地进行n次观测，每次观测的结果可以看作一个随机变量，n次观测的结果就是n个随机变量X,X…X,它们相互独立，并与总体X服从相12同的分布.n总体——研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.6

个体——组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X的某个取值.用表示.样本——从总体中抽取的部分个体.用表示,n为样本容量.称为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.样本空间——样本所有可能取值的集合.7

简单随机样本若总体X的样本满足:与X有相同的分布(1)(2)相互独立则称为简单随机样本.一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是N/n?10.总体中个体总数样本容量8

设总体X的分布函数为F(x),则样本的联合分布函数为若总体X的密度函数为f(x),则样本的联合密度函数为9

例如设某批产品共有N个,其中的次品数为M,其次品率为若p是未知的,则可用抽样方法来估计它.从这批产品中任取一个产品,用随机变量X来描述它是否是次品:X服从参数为p的0-1分布,可用如下表示方法:10

设有放回地抽取一个容量为n的样本其样本值为样本空间为的联合分布为11

若抽样是无放回的,则前次抽取的结果会影响后面抽取的结果.例如所以,当样本容量n与总体中个体数目N相比很小时,可将无放回抽样近似地看作放回抽样.12

§2抽样分布统计量定义设是取自总体X的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量.若是一个样本值,称为统计量的一个样本值13

例是未知参数,是一样本,则是统计量,其中但不是统计量.若?,?已知,则为统计量14

常用的统计量设是来自总体X的容量为n的样本,称统计量为样本均值为样本方差为样本标准差15

为样本的k阶原点矩为样本的k阶中心矩例如16

注样本方差与样本二阶中心矩的不同1）关系式推导故17

2）则推导设18

3）则推导设19

例1从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.