根轨迹有关于分离角汇合角的证明课件.pptVIP

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法第四章根轨迹法闭环系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统的极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出系统闭环极点的位置是十分有意义的。1948年，伊文斯(W.R.Evans)提出了根轨迹法，这种方法是根据系统的开、闭环传递函数之间的关系，根据一些准则，直接由开环传递函数的零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法4.1根轨迹的基本概念一、根轨迹的定义根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数(如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动所画出的轨迹。常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时所对应的根轨迹。广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函数中其它参数时所对应的根轨迹。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法系统的传递函数其闭环传递函数则闭环特征方程为

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法解之，得闭环特征根表达式为取K为不同值代入s表达式，得1,2K00.5s101.0-1+j1-1+j2…-1-j1-1-j22.5…+?-1+j?-1-j?-1…s2-2-1

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法二、根轨迹与系统的性能稳定性：只要K0，则根轨迹在s平面的左半平面，因此，系统是稳定的。稳态性能：有一个开环极点在坐标原点处，所以该系统是I型系统，则K为静态速度误差系数。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法动态性能：①当0K0.5时，系统的闭环极点位于负实轴上，二阶系统处于过阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程。②当K=0.5时，二阶系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应也为非周期过程。③当K0.5时，系统具有一对共轭复数极点，处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼的振荡过程。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法三、根轨迹方程1.开、闭环传递函数的零、极点表达式控制系统的结构图其闭环传递函数式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法将开环传递函数用其分子、分母多项式方程根的因式来表示，得开环传递函数开环传递函数的零、极点表达式pi为分母多项式方程的根，称作开环传递函数的极点。zj为分子多项式方程的根，称作开环传递函数的零点。K称作根轨迹增益。*

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法闭环传递函数闭环传递函数的零、极点表达式式中：s为闭环传递i函数的极点，亦即闭环特征根。z闭环传递函?j数的零点。K*?称作闭环根轨迹增益。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法2.根轨迹方程根轨迹是所有闭环特征根的集合。闭环系统的特征方程为1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1或写成上式就是根轨迹方程。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法模值方程：相角方程：

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法看出：模值方程与K有关，而相角方程*与K根轨迹的充分必要条件，而模值方程是用来确定根轨迹上各点对应的K值。无关。因此，相角方程是决定闭环**

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法4.2绘制根轨迹图的基本法则法则1根轨迹的分支数：n阶系统根轨迹有n条分支。法则2根轨迹的对称性：根轨迹是关于实轴对称的。法则3根轨迹的起点、终点：根轨迹起于开环极点p，i终止于开环零点z(m条)或趋于无穷j，远点(n-m条)。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法证明：由根轨迹方程，得令K=0，得*故

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法令，得当，设，则

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法法则4根轨迹在实轴上的分布：实轴上根轨迹区段右侧的开环零点与开环极点数目之和为奇数。相反，如果右侧(实)零点与(实)极点数目之和为偶数，则试探点s所在区段不属于根轨迹。i

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法证明：根据相角方程

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法法则5根轨迹的渐近线：当nm时，将有(n-m)条根轨迹沿渐近线趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹角为，与实轴交点坐标为。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法常见n-m＝1,2,3,4时渐近线的图像:

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法观察发现：渐近线条数为(n-m)条，而这些渐近线将s平面以为中心进行等分，几个渐近线之间的夹角为，这样只要求出某一条渐近线与实轴的夹角，就很容易求出其它渐近线的位置。

自动控制原理第四章复域分析法－根轨迹法法则6根轨迹的分离点(或会合点)坐标s：d两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇后又立即分开的点，称为分离点。分离点满足方程：

自动控制原理第