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§5.3实对称矩阵的相似矩阵一、实对称矩阵的特征值和特征向量说明:1.一般方阵常常不能对角化2.对角化条件一般难于判断。本节主要结论:实对称矩阵(1)特征值必为实数(2)必相似于对角矩阵(3)且可正交相似于对角矩阵(相似变换可为正交变换)定理5.6实对称矩阵的特征值为实数,对应的特征向量是实向量.
证明分析
证毕定理5.7证明
证毕例1解
二、正交矩阵例定义5.5
性质证证
证证毕
证证毕
三、实对称矩阵正交相似于对角矩阵定理5.8证明对A的阶数用数学归纳法
∴基础解系恰含n-1个线性无关解向量,设为p1,p2,?,pn.对其正交且标准化,可得标准正交向量组q1,q2,?,qn.∴Q1=(q1,q2,?,qn)是正交矩阵,且数:(i=1,2,?,n)
证毕
n阶实对称阵A正交相似于对角阵的问题与求解步骤推论证(1)求A的全部特征值(含重数),即步骤
例2
解
练习(2002数一8分)设A,B为同阶方阵,⑴如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等;⑵举一个2阶方阵的例子,说明(1)的逆命题不成立;⑶当AB均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.
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