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一元二次方程的应用
知识网络
重难突破
知识点一一元二次方程的解题步骤
列一元二次方程解应用题,其步骤和二元一次方程组解应用题类似:
“审〞,弄清楚量,未知量以及他们之间的等量关系;
“设〞指设元,即设未知数,可分为直接设元和间接设元;
“列〞指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式,即方程。
“解〞就是求出说列方程的解;
“答〞就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程。
注意:一元二次方程考点:定义的考察;解方程及一元二次方程的应用。
知识点二传播问题
【解题关键】明确每轮传播中的传染源个数,以及这一轮被传染的总数
典例1一次会议上,每两个参加会议的人互相握了一次手,有人统计一共握了45次手,如果这次会议到会的人数为x人,根据题意可列方程为〔??〕
A.x〔x+1〕=45 B.x〔x-1〕=45 C.2x〔x+1〕=45 D.
【答案】D
【详解】设这次会议到会的人数为x人,那么每人将与〔x-1〕人握手,依题意,得:
x〔x-1〕=45,
即x〔x-1〕=45×2.
应选:D.
典例2在元且庆祝活动中,参加活动的同学互赠贺卡,共送贺卡90张,那么参加活动的有〔〕人.
A.9 B.10 C.12 D.15
【答案】B
【详解】解:设参加此次活动的人数有x人,
由题意得:x〔x﹣1〕=90,
解得:x1=10,x2=﹣9〔不合题意,舍去〕.
即参加此次活动的人数是10人.
应选:B.
典例3某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作,回到班上后第一节课教会了假设干名同学,第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学,这样全班共有36人会做这个实验;假设设1人每次都能教会x名同学,那么可列方程为()
A.x+(x+1)x=36 B.1+x+(1+x)x=36
C.1+x+x2=36 D.x+(x+1)2=36
【答案】B
【详解】设1人每次都能教会x名同学,
根据题意得:1+x+(x+1)x=36.
应选:B.
知识点三增长率问题
【解题关键】用含未知数的数据将题干中每年情况的数据表示出来,列出等量关系。
典例1某公司今年销售一种产品,一月份获得利润10万元,由于产品畅销,利润逐月增加,第一季度共获利42万元,二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率x,那么x满足的方程为〔〕
A.10〔1+x〕2=42
B.10+10〔1+x〕2=42
C.10+10〔1+x〕+10〔1+2x〕=42
D.10+10〔1+x〕+10〔1+x〕2=42
【答案】D
【详解】设二、三月份利润的月增长率x,那么二月份获得利润10〔1+x〕万元,三月份获得利润10〔1+x〕2万元,
依题意,得:10+10〔1+x〕+10〔1+x〕2=42.
应选D.
典例2某县从2022年开始大力开展“竹文化〞旅游产业。据统计,该县2022年“竹文化〞旅游收入约为2亿元预计2022年“竹文化〞旅游收入到达2.88亿元,据此估计该县2022年,2022年“竹文化〞旅游收入的年平均增长率约为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
解:设该市2022年、2022年旅游收入的年平均增长率为x,
依题意,得:2〔1+x〕2=2.88,
解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2〔不合题意,舍去〕.
应选B.
典例3为防治雾霾,保护环境,某市掀起“爱绿护绿〞热潮,经过两年时间,绿地面积增加了21%,设这两年的绿地面积的平均增长率是,那么列出关于的一元二次方程为〔〕
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】设绿地面积为a,这两年平均每年绿地面积的增长率是x,根据题意列方程得:
a〔1+x〕2=〔1+21%〕a,即〔1+x〕2=1+21%.
应选D.
知识点四几何问题
【解题关键】根据所学内容,将其用含未知数的形式表现出来。
典例1〔2022·河南初三期中〕如图,某小区有一长为18米,宽为6米的矩形空地,方案在其中修建两块相同的矩形绿地,它们面积之和为60平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,那么人行道的宽度为〔〕米.
A.2 B.1 C.8或1 D.8
【答案】B
【详解】解:设人行道的宽度为x米,那么两块矩形绿地可合成长为〔18-3x〕米、宽为〔6-2x〕米的矩形,
根据题意得:〔18-3x〕〔6-2x〕=60,
整理得:x2-9x+8=0,
解得:x1=1,x2=8.
∵8>6,
∴x2=8舍去.
应选:B.
典例2在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是,设金色纸边的宽为,那么满足的方程是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】设金色纸边的宽为,那么矩形
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