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斜率、倾斜角与直线方程
一、斜率与倾斜角
1.倾斜角与斜率
倾斜角与斜率的概念:
倾斜角与斜率的对应关系:
由上表可知直线l的倾斜角α的取值范围是 ,斜率k的取值范围是(-∞,+∞).2.过两点的直线的斜率公式
已知直线上两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2),则直线的斜率公式: .3.特殊情况下两条直线的平行与垂直
两条不重合的直线中,有一条直线没有斜率.
当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜度都等于90°,两直线 .
当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线
.
4.两条直线都有斜率而且不重合时的平行与垂直
如果两条直线互相平行,那么它们的斜率 ;反之,如果两条直线的斜率相等,那么它们
互相 ,即l1∥l2 .
如果两条直线互相垂直,那么它们的斜率 ;反之如果两条直线的斜率互为负倒数,
那么它们互相 ,l⊥l?k=-
例题解析 1 2 1
1? .
k2
k
倾斜角斜率前提条件直线l与x
倾斜角
斜率
前提条件
直线l与x轴
倾斜角不是
定义
取 作为基准,x
l 之间所成的角
轴 与直线
直线l倾斜角的
表示或记法
α
k=tanα
图示
倾斜角(范围)
α=0°
0°α90°
α=
90°α180°
斜率(范围)
0
k0
斜率不存在
k0
①任一条直线都有倾斜角;②直线的倾斜角越大其斜率就越大;③直线的斜率越大其倾斜角就越大;
④直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率;⑤任一条直线都有斜率;⑥直线的斜率为tanα,则直线的倾斜角为α.
变式:判断下列命题的正确性:
(1)任一条直线都有倾斜角,也都有斜率;(2)平行于x轴的直线倾斜角是0°或180°;(3)直线的斜率的范围是(-∞,+∞);(4)两直线的斜率相等,则它们的倾斜角相等;(5)两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率相等.
例2.若直线x=1的倾斜角为α,则α()
A.等于0° B.等于45° C.等于90° D.不存在变式1:.已知直线l的倾斜角α=30°,则其斜率k的值为()
3A.0 B.3 C.1 D.3
3
变式2.已知直线过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为( )
A.3 B.2 C.-2 D.不存在
变式3.已知点A(1,2),在x轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为( )A.(0,3) B.(0,-1) C.(3,0) D.(-1,0)
变式4.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.30°或150°
变式5.直线l的倾斜角是斜率为3
D.60°或120°
2倍,则l的斜率为( )
3的直线的倾斜角的
3A.1 B.
3
2 3 D.-3
C.3变式6.如下图,已知直线l,l,l的斜率分别为k,k,k,则( )
C
.3
1 2 3 1 2 3
A.kkk
1 2 3
C.kkk
3 2 1
B.kkk
3 1 2
D.kkk
1 3 2
变式7.已知点A(1,3),B(-2,-1).若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k
的取值范围是( )
A.k 1 1 1
≥2 B.k≤-2 C.k≥2或k≤-2 D.-2≤k≤2
变式8.若三点A(-2,3),B(3,-2),C
1
(2,m)共线,则m的值为 .
变式9.直线l过点M(-2,m),N(m,4)两点,则直线l的斜率为 .题型二:平行与垂直的判定
例1. 下列命题中正确命题的是
①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;②若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等;
③若两直线垂直,则这两条直线的斜率之积为-1;④若两条直线平行,则这两条直线的倾斜角相等;⑤若两直线的斜率不存在,则这两条直线平行.
例2. 判断下列各题中的直线l1,l2是否平行:
(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);(2)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5);(3)l1的倾斜角为60°,l2经过点A(1,3),B(-2,-2 3).
l l变式1:
l l
1 2
(1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点P(-2,-1),Q(2,1
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