概率论第一章习题答案.docx

第一章习题答案

在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=

“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。

解?={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4}）；

A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）；B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）

（4，3）}

在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}．

叙述事件ABC的含义．

在什么条件下，ABC＝C成立？

在什么条件下，C?B成立？

解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．

由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生．

当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立．

将下列事件用A，B，C表示出来：

（1）只有C发生；

（2）A发生而B，C都不发生；

三个事件都不发生；

三个事件至少有一个不发生；

三个事件至少有二个不发生；

三个事件恰有二个不发生；

三个事件至多有二个发生；

三个事件中不少于一个发生。

解（1）ABC；（2）ABC：（3）ABC（4）A?B?C；（5）AB?BC?AC；（6）

ABC?ABC?ABC；（7）ABC ；（8）A?B?C。

设A，B，C是三个随机事件，且p(A)?P(B)?P(C)?

1

1,P(AB)?P(CB)?0，

4

P(AC)?

8

,求A，B，C中至少有一个发生的概率．

解 设D＝{A，B，C中至少有一个发生}，则D＝A＋B＋C，于是

P(D)＝P(A＋B＋C)

＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)＋P(ABC)．

又因为

P(A)?P(B)?P(C)?1, P(AB)?P(CB)?0, P(AC)?1,

4 8

而由P(AB)＝0，有P(ABC)＝0，所以

P(D)?3?1?5?

4 8 8

掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率．

解 设A＝{出现正正}，其基本事件空间可以有下面三种情况：

(Ⅰ)Ω

＝{同面、异面}，n

1

＝2．

1

(Ⅱ)Ω

＝{正正、反反、一正一反}，n

2

＝3．

2

(Ⅲ)Ω

＝{正正、反反、反正、正反}，n

3

＝4．

3

于是，根据古典概型，对于(Ⅰ)来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m

1

＝1，于是有

而对于(Ⅱ)来说，m

＝1，于是有

2

P(A)?1．

2

而对于(Ⅲ)来说，m

P(A)?1．

4

＝1，于是有

3

P(A)?1．

3

口袋中装有4个白球，5个黑球。从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

解试验的基本事件（样本点）总数n?C2，设A=“取得两个白球”，则A包含的基本

9

事件数m?C2，有古典概型有

4

C2 1

P(A)???4?

C2 6

9

两封信任意地向标号为1，2，3，4的四个邮筒投递，求：（1）第三个邮筒恰好投入一封信的概率；（2）有两个邮筒各有一封信的概率。

解（1）设事件A表示“第三个邮筒恰好投入一封信”。两封信任意投入4个邮筒，共有42种等可能投法，组成事件A的不同投法有2×3种，于是

P(A)?6?3

42 8

（2）设B表示“有两个邮筒各有一封信”，则

C2?2! 5

P(A)???4 ?

42 8

在100个产品中有70件一等品，20件二等品，10件三等品，规定一、二等品为合格品，考虑这批产品的合格率与一、二等品率的关系。

解设事件A，B分别表示产品为一、二等品，显然事件A与B互补相容，并且事件A?B

表示产品为合格品，于是

P(A)?70

，P(B)?

20,P(A?B)?

70?20?90.

100 100 100 100

可见 P(A?B)?P(A)?P(B)

三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人．如今三人各取一只，求：（1）恰好取

到自己的笔的概率；（2）都没有取到自己的笔的概率．

分析