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难点12 等差数列、等比数列的性质运用
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
●难点磁场
(★★★★★)等差数列{a}的前n项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的
n
和为 .
●案例探究
x2?4[例1]已知函数f
x2?4
求f(x)的反函数f--1(x);
1
(x-2).
设a
=1,
=-f--1(a
)(n∈N*),求a;
1 a n n
n?1
m
设S=a2+a2+?+a2,b=S -S是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有b
n 1 2
n n n+1 n
n 25
成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,属★★★★★级题目.
知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题.
错解分析:本题首问考查反函数,反函数的定义域是原函数的值域,这是一个易错点,
(2)问以数列{ 1 }为桥梁求a,不易突破.
a2 n
n
1a?421技巧与方法
1
a
?4
2
1
a
n?1 n
1
得
a 2
n?1
1 =4,构造等差数列{ 1
a2 a2
n n
},从而
求得a,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想.
4?
4?1
y2
1
x2?4解:
x2?4
,∵x-2,∴x=- ,
4?1y2即y=f--1(x
4?1
y2
(2)∵ 1
a
n?1
? 4? 1
a2
n
,? 1 ? 1
a 2 a2
n?1 n
?4,
∴{ 1 }是公差为4的等差数列,
a2
n
14n?3∵a=1, 1 =1 +4(n-1)=4n-3,∵a0,
1
4n?3
1 a2 a2 n n
n 1
1 m 25
(3)b=S
-S=a 2=
,由b ,得m ,
n n+1
n n+1
4n?1
n 25 4n?1
设g(n)= 25 ,∵g(n)= 25 在n∈N*上是减函数,
4n?1 4n?1
∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bm成立.
n 25
[例2]设等比数列{a}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和
n
的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lga}的前多少项和最
n
大?(lg2=0.3,lg3=0.4)
命题意图:本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则,等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.
知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件,求出a;进而
n
利用对数的运算性质明确数列{lga}为等差数列,分析该数列项的分布规律从而得解.
n
错解分析:题设条件中既有和的关系,又有项的关系,条件的正确转化是关键,计算易
出错;而对数的运算性质也是易混淆的地方.
技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列,而等差数列中前n项和有最大值,一定是该数列中前面是正数,后面是负数,当然各正数之和最大;另
外,等差数列S
n
是n的二次函数,也可由函数解析式求最值.
解法一:设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有
?a?(q2m?1) aq?(q2m?1)
?1 ? 1
? q?1 q2?1
?(aq)?(aq3)?9(aq2?a
q3)
? 1 1 1
?4q ?1
1
??q?1
?
?化简得?q?1
?
解得? 3 .
?aq2?9(1?q), ??a
?108
?1 1
设数列{lga}前n项和为S,则
n n
S=lga+lgaq2+?+lgaqn-1=lga
n·q1+2+?+(n-1)
n 1 1 1 1
=nlga+1n(n-1)·lgq=n(2lg2+lg3)-1n(n-1)lg3
1 2 2
lg3
=(- )·n2
7 ·n
+(2lg2+ lg3)
2 2
2lg2?7lg3
可见,当
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