新九年级数学时期讲义第1讲一元二次方程-满分班(学生版+解析).docxVIP

第1讲一元二次方程

1一元二次方程的定义

1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要点诠释：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

【例题精选】

例1(2023秋?黄冈期末）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

例2(2023秋?淮安区期末）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2019的值是（）

A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021

【随堂练习】

1．(2023?武汉模拟）将关于x的一元二次方程x（x+2）＝5化成一般式后，a、b、c的值分别是（）

A．1，2，5 B．1，﹣2，﹣5 C．1，﹣2，5 D．1，2，﹣5

2．(2023?河北模拟）已知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2019的值是（）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

3．(2023秋?开远市期末）若x＝3是方程x2﹣5x+m＝0的一个根，则m的值是（）

A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6

2直接开平方法

1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：

平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.

【例题精选】

例1(2023春?蜀山区期中）解方程：（y+2）2﹣6＝0

【随堂练习】

1．(2023春?鼓楼区校级月考）解方程（2x+1）2＝64；

2．(2023秋?南关区校级月考）（2y﹣3）2﹣64＝0

3配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

【例题精选】

例1(2023?泉港区一模）解方程：x2﹣4x＝1．

例2(2023?武汉模拟）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．

【随堂练习】

1．(2023?江岸区校级模拟）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．

2．(2023秋?中山市期末）解方程：x2+4x﹣3＝0．

3．(2023?武汉模拟）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）

4公式法

1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

【例题精选】

例1(2023秋?长白县期中）用公式法解方程：4x2+4x﹣1＝﹣10﹣8x．

例2(2023秋?黄浦区校级期中）解方程：3x2﹣16x+5＝0

【随堂练习】

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