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习题课二面角的平面角的常见解法
[学习目标]1.掌握二面角的定义及其平面角的作法.(重点)2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法
求二面角的大小.(难点)
导语
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedralangle).这条直线叫做二面角的棱,这两个
半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α,
β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二
面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.
如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA
和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
一、定义法求二面角
知识梳理
定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,过这个点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图,∠AOB
为二面角α-l-β的平面角.
例1(1)如图,在三棱锥V-ABC中,VA=AB=VB=AC=BC=2,VC=3,求二面角V-AB-C的大小.
解如图,取AB的中点D,连接VD,CD,
∵在△VAB中,VA=VB=AB=2,
∴△VAB为等边三角形,
3
∴VD⊥AB且VD=,
∵在△ACB中,AB=AC=BC=2,
∴△ACB为等边三角形,
∴CD⊥AB,CD=3,
∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角,
∵在△ADC中,VD=CD=VC=3,
∴△VDC是等边三角形,
∴∠VDC=60°,
∴二面角V-AB-C的大小为60°.
(2)二面角α-l-β的大小为60°,A,B分别在两个面内且A和B到棱l的距离分别为2和4,AB=10,求
AB与棱l所成角的正弦值.
解如图,作AC⊥l,BD⊥l,C,D为垂足,
则AC=2,BD=4,AB=10.
在β内过点C作CE∥DB,且CE=DB,连接BE,AE,
∴四边形CEBD为平行四边形,
∴BE∥l,且CE=BD=4,
∴∠ABE为AB与棱l所成的角,
∵BD∥CE,∴l⊥CE,又l⊥AC,AC∩CE=C,
∴∠ACE为α-l-β的平面角,且l⊥平面ACE,
∴∠ACE=60°,
222
∴AE=AC+CE-2AC·CE·cos∠ACE
1
22
=2+4-2×2×4×=12,
2
3
∴AE=2,
又BE∥l,l⊥平面ACE,
∴BE⊥平面ACE,
∴BE⊥AE,
AE233
∴sin∠ABE===.
AB105
3
∴AB与棱l所成角的正弦值为.
5
反思感悟利用二面角的定义,在二面角的棱上找点,过点在两个平面内作棱的垂线,两垂线所成的角就
是二面角的平面角,解题时应先找平面角,再证明,最后在三角形中求平面角.
二、垂面法求二面角
知识梳理
垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面各有一条交线,这两条交线所成的角
即二面角的平面角.如图,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
例2如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC,SC于点D,
E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
解∵SB=BC且E是SC的中点,
∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线,
∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BDE,
∴SC⊥平面BDE,
∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,
∴SA⊥BD,而SC∩SA=S,SC,SA⊂平面SAC,
∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE=DE,
平面SAC∩平面BDC=DC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC,
∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,
∴SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA=2,则AB=2,BC=SB=22.
∵AB⊥BC,
3
∴AC=2,
∴∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC,
∴∠EDC=60°.
即二面角E-BD-C
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