2024中考数学全国真题分类卷 模型五 半角模型 强化训练(含答案).pdfVIP

2024中考数学全国真题分类卷模型五半角模型强化训练

类型一正方形含半角

1.综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手

动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转，体会活动带

给我们的乐趣．

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，

AF，连接EF，如图①.

(1)∠EAF＝________°，写出图中两个等腰三角形：________(不需要添加字母)；

转一转：将图①中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接

PQ，如图②.

(2)线段BP，PQ，DQ之间的数量关系为_______________________________________；

(3)连接正方形对角线BD，若图②中的∠PAQ的边AP，AQ分别交对角线BD于点M，点N，

如图③，求CQ的值．

BM

第1题图

类型二等腰直角三角形含半角

2.如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC

上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F.设CM＝a，CN＝b，若ab＝8.

(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；

(2)①当a＝b时，求∠ECF的度数；

②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．

类型三含120°角的菱形含半角

3.如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M，N分别是边BC，CD上的动点，∠MAN＝

60°，AM，AN分别交BD于点E，F.

(1)求证：CM＋CN＝BC；

(2)如图②，过点E作EG∥AN交DC的延长线于点G，求证：EG＝EA；

(3)如图③，若AB＝1，∠AED＝45°，求EF的长．

第3题图

参考答案与解析

1.解：(1)45，△AEF，△EFC，(从△AEF，△EFC，△ABC，△ADC中任选两个即可)；

【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴△ABC，

1

△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF＝(∠BAC＋∠DAC)

2

＝45°，∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∴△BAE≌△DAF(ASA)，

∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形．

(2)PQ＝BP＋DQ；

【解法提示】如解图，延长CB到点T，使得BT＝DQ，连接AT.∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT

＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT(SAS)，∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，

∴∠PAT＝∠BAP＋∠BAT＝∠BAP＋∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，

∴△PAT≌△PAQ(SAS)，∴PQ＝PT，∵PT＝PB＋BT＝PB＋DQ，∴PQ＝BP＋DQ.

第1题解图

(3)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝2AB，

∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，

∴∠BAM＝∠CAQ，

∴△CAQ∽△BAM，

CQAC

∴＝＝2.

BMAB

2.解：(1)由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形．

理由如下：∵AC＝BC，∠C＝90°，

∴∠A＝∠B＝45°.

∵四边形PMCN是矩形，

∴∠CME＝∠CNF＝∠P＝90°，AC∥PN，BC∥PM，

∴∠AME＝∠BNF＝90°，∠A＝∠PFE＝45°，∠PEF＝∠B＝45°，

∴△AME，△PEF，△BNF都是等腰直角三角形，

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