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直线与方程
一、根底知识回忆
1.倾斜角与斜率
知识点1:当直线与轴相交时,轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.
知识点2:设直线的倾斜角为,斜率为,
〔1〕那么.当时斜率不存在.
〔2〕当时,;当时,.
〔3〕过,的直线斜率.
知识点3:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即=.
知识点4:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直.即
注意:
1.或的斜率都不存在且不重合.
2.或且的斜率不存在,或且的斜率不存在.
2.直线的方程
知识点5:直线经过点,且斜率为,那么方程为直线的点斜式方程.
注意:
⑴轴所在直线的方程是,轴所在直线的方程是.
⑵经过点且平行于轴〔即垂直于轴〕的直线方程是.
⑶经过点且平行于轴〔即垂直于轴〕的直线方程是.
知识点6:直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.直线叫做直线的斜截式方程.
注意:截距就是函数图象与轴交点的纵坐标.
知识点7:直线上两点且,那么通过这两点的直线方程为,由于这个直线方程由两点确定,叫做直线的两点式方程.
知识点8:直线与轴的交点为,与轴的交点为,其中,那么直线的方程为,叫做直线的截距式方程.
注意:直线与轴交点〔,0〕的横坐标叫做直线在轴上的截距;直线与y轴交点〔0,〕的纵坐标叫做直线在轴上的截距.
知识点9:关于的二元一次方程〔A,B不同时为0〕叫做直线的一般式方程.
注意:〔1〕直线一般式能表示平面内的任何一条直线
〔2〕点在直线上
总结.直线方程的几种形式
名称
方程形式
适用条件
点方向式
不表示的直线
点法向式
点斜式
不表示的直线
斜截式
不表示的直线
两点式
不表示的直线
截距式
不表示和的直线
一般式
注意:求直线方程时,要灵活选用多种形式.
3、直线的交点坐标与距离
知识点10:两直线的交点问题.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组,假设方程组有唯一解,那么两直线相交;假设方程组有无数组解,那么两直线重合;假设方程组无解,那么两直线平行.
知识点11:平面上两点,那么.
特殊地:与原点的距离为.
知识点12:点和直线,那么点到直线的距离为:.
知识点13:两条平行线直线,,那么与的距离为
知识点14:巧妙假设直线方程:
〔1〕与平行的直线可以假设成:〔C1和C2不相等〕
〔2〕与垂直的直线可以假设成:Bx-Ay+m=0
〔3〕过:A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0交点的直线可以假设成A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0〔该方程不包括直线)
知识点15::A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0垂直等价于:A1A2+B1B2=0(A1和B1不全为零;A2和B2不全为零;)
知识点16:中点坐标公式:,那么AB的中点,那么.
知识点17:中心对称与轴对称
〔1〕中心对称:设点关于点对称,那么
〔2〕轴对称:设关于直线对称,那么:
①、时,有且;②、时,有且
③、时,有
二、例题与练习
一、填空题:
1、直线的倾斜角的正弦值是,那么此直线的斜率是。
2、假设三点共线,那么的值等于____________。
3、在平面直角坐标系中,点到直线的距离分别为和,那么符合条件的直线条数为。
4、直线经过点两点,那么直线的倾斜角取值范围是。
5、点;假设点在函数的图像上,那么使得的面积为的点的个数为。
6、,直线和直线与两坐标
轴围成一个四边形,那么使得这个四边形面积最小的值为。
7、以下四个命题中的真命题是____________;
〔1〕经过定点的直线都可以用方程表示
〔2〕经过任意两个不同的点的直线都可以用方程
表示
〔3〕不经过原点的直线都可以用方程表示
〔4〕经过定点的直线都可以用方程表示
8、直线,假设与关于轴对称,那么的方程为________。
9、假设原点在直线上的射影为,那么的方程为______________。
10、点在直线上,那么的最小值是___________。
11、经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线。
12、点,假设线段的垂直平分线的方程是,那么实数
的值是。
13、直线经过点,且和直线的夹角等于,那么直线的方程是。
14、两条平行直线分别过点和,各自绕旋转,假设这两条平行线距离最大时,两直线方程分别是。
15、设直线方程是,从这五个数中每次取两个不同的数作为的值,那么所得不同直线的条数是。
16、直线,,那么直线与的夹角为
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