学年九年级数学上册期末考点大串讲正多边形和圆及弧长和扇形面积含解析新版新人教版.docx

正多边形和圆及扇形面积

知识网络

重难突破

知识点一正多边形和圆

正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．

正多边形的相关概念：

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

半径、边心距，边长之间的关系：

画圆内接正多边形方法〔仅保存作图痕迹〕：

量角器

〔作法操作复杂，但作图较准确〕

量角器+圆规

〔作法操作简单，但作图受取值影响误差较大〕

圆规+直尺

〔适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..〕

【典型例题】

典例1〔2022·厦门市期中〕如图，圆O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，那么__________度.

【答案】18

【分析】根据∠OCB=∠BCD-∠OCD，求出∠BCD，∠OCD即可；

【详解】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，

∴OA⊥AE，OC⊥CD，

∴∠OAE=∠OCD=90°，

又∵∠BCD=108°，

∴∠OCB=108°-90°=18°

故答案为18．

【名师点睛】此题考查正多边形与圆、切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握根本知识，属于中考常考题型．

典例2〔2022·曲靖市期中〕正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为6，那么这个正三角形的面积为_________．

【答案】273

【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，OD、BD、BC的值，然后根据三角形的面积公式求解即可．

【详解】解：连接AO并延长交BC与点D连接BO，

∵正三角形ABC内接于⊙O，

∴点O即是三角形内心也是外心，

∴∠OBD=30°，BD=CD=12

∴OD=12

∴AD=9，BD=62-3

∴BC=63，

∴这个正三角形的面积为：12×63

故答案为：273．

【名师点睛】此题主要考查了正多边形和圆，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．

典例3〔2022·莱芜市期中〕如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，假设⊙O的半径为2，那么△ADE的周长是________.

【答案】6+2

【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长．

【详解】连接OE，

∵多边形ABCDEF是正多边形，

∴∠DOE=360°6

∴∠DAE=12∠DOE=12×60°=30°，

∵⊙O的半径为2，

∴AD=2OD=4，

∴DE=12AD=12×4=2，AE=3DE=2

∴△ADE的周长为4+2+23=6+23，

故答案为：6+23．

【名师点睛】考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是确定三角形的三个角的度数，然后确定其三边的长，难度不大．

典例4〔2022·余干县期中〕如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为______cm．

【答案】63.

【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍，构造一个由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，再根据锐角三角函数的知识求解即可．

【详解】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，AC与BO相交于点M，

∴∠AOB=∠BOC=60°，

∴OA=OB=AB=OC=BC，

∴四边形ABCO是菱形，

∵OA=AB=6cm，∠AOB=60°，

∴∠OAC=30°，cos∠OAC=AMAO

∴AM=6×32=33〔cm

∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，

∴AM=MC=12AC

∴AC=2AM=63〔cm〕．

故答案为63．

【名师点睛】此题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边和边心距组成的直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.

典例5〔2022·保定市期末〕如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，那么∠ADE的度数为___．

【答案】84°．

【分析】据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．

【详解】正五边形的内角是∠ABC＝(5-2)×180

∵AB＝BC，

∴∠CAB＝36°，

正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝(6-2)×180

∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°，

∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，

故答案为84°．

【名师点睛】此题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解