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一元二次方程及其一般式
知识网络
重难突破
知识点1:一元二次方程定义及一般形式
概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数〔一元〕,并且未知数的最高次数式2〔二次〕的方程,叫做一元二次方程。
一般形式:。其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。
【注意】
1〕只含有一个未知数;
2〕所含未知数的最高次数是2;
3〕整式方程。
典例1以下属于一元二次方程的是〔〕.
A. B. C. D.3x+1=0
【答案】B
A.不是一元二次方程,有两个未知数,故此选项错误;
B.是一元二次方程,故此选项正确;
C.不是一元二次方程,是分式方程,故此选项错误;
D.不是一元二次方程,是一元一次方程,故此选项错误;
应选:B.
典例2〔2022春左贡县期末〕是关于x的一元二次方程,那么〔〕
A. B. C. D.为任意实数
【答案】C
【详解】∵方程是关于x的一元二次方程,
∴二次项系数p≠0,
应选C.
典例3假设是关于的一元二次方程,那么的取值范围是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意得:a-1≠0
解得a≠1
应选B.
知识点二一元二次方程的解
概念:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
典例1〔2022春赣州市期末〕关于x的方程x2+〔m2﹣2〕x﹣15=0有一个根是x=3,那么m的值是〔〕
A.0 B.2 C.2或﹣2 D.﹣2
【答案】C
【详解】把x=3代入方程x2+〔m2﹣2〕x﹣15=0得9+3m2﹣6﹣15=0,
解得m=±2.
应选C.
典例2〔2022春武汉市期末〕1是关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2+x+1=0的一个根,那么m的值是〔〕
A.1 B.0 C.﹣1 D.无法确定
【答案】C
【详解】解:∵1是关于x的一元二次方程〔m-1〕x2+x+1=0的一个根,
∴〔m-1〕×12+1+1=0,且m-1≠0,
解得:.
应选择:C.
典例3〔2022市重庆市期末〕a是方程的一个根,那么代数式的值是〔〕
A.6 B.5 C. D.
【答案】B
【详解】解:∵a是方程x2-3x-1=0的一个根,
∴a2-3a-1=0,
整理得,a2-3a=1,
∴2a2-6a+3=2〔a2-3a〕+3
=2×1+3
=5,
应选:B.
稳固训练
一、选择题〔共10题〕
1.〔2022春青岛市期末〕假设关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0〔a≠0〕有一根为x=2022,那么一元二次方程a〔x﹣1〕2+b〔x﹣1〕=1必有一根为〔〕
A. B.2022 C.2022 D.2022
【答案】B
【详解】对于一元二次方程a〔x-1〕2+b〔x-1〕-1=0,
设t=x-1,
所以at2+bt-1=0,
而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0〔a≠0〕有一根为x=2022,
所以at2+bt-1=0有一个根为t=2022,
那么x-1=2022,
解得x=2022,
所以一元二次方程a〔x-1〕2+b〔x-1〕=1必有一根为x=2022.
应选:B.
【名师点睛】此题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
2.〔2022春青岛市期末〕观察以下表格,一元二次方程x2-x=1.2的一个近似解是〔〕
A.0.11 B.1.69 C.1.79 D.1.19
【答案】C
【详解】∵x=1.7时,x2-x=1.19;x=1.8时,x2-x=1.44,
∴一元二次方程x2-x=1.2的一个解为1.7<x<1.8.
应选C.
【名师点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解:用列举法估算一元二次方程的近似解,具体方法是:给出一些未知数的值,计算方程两边结果,当两边结果愈接近时,说明未知数的值愈接近方程的解.
3.〔2022春济南市期末〕m是方程好x2-2x-1=0的一个根,那么代数式2m2-4m+2022的值为()
A.2022 B.2021 C.2022 D.2022
【答案】B
【详解】∵m是方程x2?2x?1=0的一个根,
∴m2?2m?1=0,
∴m2?2m=1,
∴2m2?4m+2022=2(m2?2m)+2022=2×1+2022=2021.
应选B
【名师点睛】此题考查一元二次方程的解,解题关键在于掌握运算法那么
4.〔2022春桂林市期末〕方程x2+2x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()
A.1,2,3 B.1,2,﹣3 C.1,﹣2,3 D.﹣1,﹣2,3
【答案】B
【详解】方程x2+2x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,2,﹣3,
应选:B.
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