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2009年GCT入学资格考试数学基础能力试题

参考答案与解析

1.【答案】

【解析】本题主要考查了一元二次函数的图像（开口方向与对称轴方程）。

解法由题中的图可知抛物线的开口向上且对称轴为，在个选项中只有符合题意。

故正确答案为。

解法从题中的图可以看出，在个选项中只有符合题意。

故正确答案为。

2.【答案】

【解析】本题主要考查了简单代数式与等差数列的平均值或前项和公式。

故正确答案为。

3.【答案】

【解析】本题主要考查了面积计算方法中的常用方法（割补法）及圆的面积计算公式。

解法如下图所示，将图中左上角的曲边三角形补到右下角时，易知阴影部分的面积是两个半径分别为与的圆的面积之差，即

故正确答案为。

解法所求面积为圆弧及线段，，围成的面积（第一部分）减去圆弧及线段，，所围成的面积（第二部分）。

如图所示，连，。第一部分面积为扇形的面积加上两个直角三角形的面积。因，故第一部分面积为。第二部分为长方形的面积加上扇形的面积，其面积为。所求面积为

故正确答案为。

4.【答案】

【解析】本题主要考查了奇偶数的概念。

前个正整数中有个偶数，其中一位数字的有个，即，，，；两位数字的有个，即，，，…，；三位数字的有个，即。将它们按要求排成一行共有位，所以从第位开始依次是…，故第个数码是。

故正确答案为。

5.【答案】

【解析】本题主要考查了函数的图形表示法及函数周期性的概念。

因是周期为的周期函数，根据周期函数的概念可知

，

。。

从图中可以看出，，。所以

故正确答案为。

6.【答案】

【解析】本题主要考查了等比数列、等差数列的概念和基本的代数公式及简单的变形方法。

解法设两个正数分别是，，根据题设可知

所以

故正确答案为。

解法由

得，进一步得

或

所以。

故正确答案为。

7.【答案】

【解析】本题主要考查了运动中的简单相遇问题。

设两地距离是千米，根据题意可知甲车到达相遇地点所用的时间是

乙车到达相遇地点所用的时间是

由

解出。

故正确答案为。

8.【答案】

【解析】本题主要考查了特殊三角形的概念与特殊角的三角函数值。

解法在等腰中，当时，时。这时，所以。从而当时，的取值范围应是。

故正确答案为。

解法本题利用排除法最简单。根据题意易知的取值范围可以接近，而选项，，都做不到这一点，故正确答案为。

9.【答案】

【解析】本题主要考查了二项式展开系数的性质。

解法由题中的图可知，第行的数字之和应是的展开系数之和，即。

故正确答案为。

解法本题也可以根据图中的规律，得到第行中的数字是，，，，，，，它们的和是。

故正确答案为。

10.【答案】

【解析】本题主要考查了复数的基本概念（虚数单位、模）与简单运算（加法、除法）。

由于，，所以。

故正确答案为。

11.【答案】

【解析】主要考查了平面直线的基本概念及简单的位置关系。

解法如下图所示，过原点及直线与的交点的直线的斜率，过原点且与直线平行的直线的斜率。当直线介于和之间，即，直线与所给图像有三个不同交点。

故正确答案为。

解法用排除法。取，，直接将选项，，排除。

12.【答案】

【解析】本题主要考查了投影的概念及图形对称性、勾股定理和正方形的面积。

解法作如下图所示的辅助线，显然所得的小直角三角形与直角及全等。设小直角三角形的两条直角边的长度分别为，，则，，所以，。从而，所求面积之和是。

故正确答案为。

解法过作线段垂直交于。设，，设，则，由图易知，≌，故。又，，所以，，容易解得。又，所以。从而可得个小正方形的面积为。

故正确答案为。

13.【答案】

【解析】本题主要考查了等可能事件的概率乘法公式和分步求积的计数原理。

解法根据题意，从甲、乙两盒中各任取一个零件配在一起，共有种情况，其中有种是型螺栓。所以要求的概率是。

故正确答案为。

解法本题也可以利用独立事件的概率乘法公式直接求得

故正确答案为。

14.【答案】

【解析】本题主要考查了四面体（三棱锥）的体积公式及相似三角形的性质。

根据题意，每个角去掉的仍是四面体，且每条棱的长是原来四面体对应棱的一半，所以去掉的体积是原来的倍，从而剩余部分的体积是。

故正确答案为。

15.【答案】

【解析】本题主要考查了双曲线的基本概念（焦点、顶点、实轴）和简单计算（焦点坐标）。

解法根据题意，本题可用特殊值代入法进行求解。

取，，则右焦点为。再取双曲线右支上的一点，则以为直径的圆的圆心坐标为。以实轴为直径的圆的圆心坐标为，所以两圆的距离是

，

这与两圆的半径之和相同，所以两圆外切。

故正确答案为。

解法如图所示，因为，设以为直径的圆半径为，圆心为。以实轴为直径的圆，其半径为，圆心