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2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题

参考答案与解析

1.【答案】

【解析】本题主要考查了拆项分组的数字计算方法，用到了等差数列与等比数列的求和公式。

因为

所以

故正确答案为。

注一般地，。

2.【答案】

【解析】本题主要考查了子集的概念与组合数的性质。

由个元素构成的子集个，由个元素构成的子集个，由个元素构成的子集个，再加上空集与全集，子集的个数共有个。

一般地，个元素的集合所有子集的个数为。

故正确答案为。

3.【答案】

【解析】本题主要考查了绝对值和算术根的概念及简单代数方程组求解。

解法由于和非负且，所以

即解得

故正确答案为。

解法选项验证法。

易知

当，时，；

当，时，；

当，时，；

故正确答案为。

4.【答案】

【解析】本题是一道算术与几何的简单综合题，考查了长方形公式与比的计算。

解法结合图形可以知道，图形中上下或左右长方形面积比相等。设第个小长方形的面积为，则可列等式或，解得。

故正确答案为。

解法如右图所示，由于，，所以。又，所以，即所求面积为。

故正确答案为。

5.【答案】

【解析】本题主要考查了空间想象能力、勾股定理及圆柱体积公式。

如图所示，一个长为的搅棒放在量杯内，搅棒的另一端最多能露出，表明直圆柱的高；搅棒的另一端最少可露出，表明直圆柱的轴截面矩形的对角线长为。

由勾股定理可知圆柱底面圆的直径是，半径为。因此，这个玻璃杯的容积为

故正确答案为。

6.【答案】

【解析】本题主要考查了运动物体在追击过程中的距离、速度和时间的关系。

解法设由区到区的路程为，则甲每分钟走全程的，乙每分钟走全程的。甲每分钟比乙多走。乙比甲早出发分钟，则乙已走的路程是。因此，甲追上乙需要的时间是分钟。

故正确答案为。

解法由题意知，甲追上乙时，两人路程相等。又因，所以（当不变时）。甲跑完全程需用分钟，乙需要分钟，则。设甲出发经分钟可以追上乙，已知乙比甲早出发分钟去区，则有，解出。即分钟后乙可以追上甲。

故正确答案为。

7.【答案】

【解析】本题主要考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值。

解法根据题意可进行计算：

中，且，则；

又在中，，；

在中，，；

在中，。

故正确答案为。

解法由条件可知，且，，

，，所以

故正确答案为。

8.【答案】

【解析】本题主要考查了虚数单位的正整数幂的周期性规律和复数模的概念与计算。

因为，，，，所以

从而

故正确答案为。

9.【答案】

【解析】本题主要考查了独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率关系。

解法设两个报警装置在紧急情况发生时发出信号分别为事件，，则，。由条件可知，在紧急情况发生时，每个报警装置不发出信号的概率分别是与。由于两个报警装置是独立的，所以两个报警器同时均不发出信号的概率是。从而紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是

故正确答案为。

解法由于两个报警装置是独立的，所以紧急情况发生时恰有一个报警器发出信号的概率为，两个报警器都发出信号的概率为。从而紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率是

故正确答案为。

解法本题利用排除法最简单。因为紧急情况发生时至少有一个报警器发出信号的概率肯定要比单个报警器发出信号的概率大，所以在给出的个选项中正确的只可能是选项。

故正确答案为。

10.【答案】

【解析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系韦达定理和简单的代数公式。

根据题意，两个不等的实数与分别是二次方程的两个实数根。所以，。从而

故正确答案为。

11.【答案】

【解析】本题主要考查了组合及组合数的概念与分类求和计数原理。

支足球队等分为组，每组共有队，每组的比赛场数为。组的比赛总场数为。

故正确答案为。

12.【答案】

【解析】本题主要考查了分式运算、因式乘法与多项式相等的概念。

解法因为

，

所以，比较系数得

解得，。

故正确答案为。

解法取值代入法。

由于等式

对和的所有都成立，特别地对和也成立，所以

解得，。

故正确答案为。

13.【答案】

【解析】本题主要考查了对数学概念的理解和应用能力。

由题意可知，，，所以

故正确答案为。

14.【答案】

【解析】本题主要考查了三角形内角和的大小、三角形的面积公式与正弦定理。

由于，且，所以

，

如图所示，过点作，使，因此，从而。

在中，由于，，根据正弦定理可知

由于与同高，所以的面积大于的面积。因此当射线分所成两部分的面积相等时，不过点而与相交。

故正确答案为。

15.【答案】

【解析】本题主要考查了斜率概念，圆的弦与切线、直角三角形及特殊四边形的有关性质。

解法圆的标准方程为，它是圆心为，半径为的圆。该圆位于第一象限。自坐标原点作圆的切线，。从图显见，切点，分别是在