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高等数学上学期模拟试卷五
一、填空题(每小题3分,共15分)
1.设函数 ,则 .
2. .
3.设,则 .
4. .
5.曲线的弧长等于 .
二、选择题(每小题4分,共20分)
设,则当 时,( )
A.与 等价无穷小量 B.与 是同阶但非等价无穷小量
C.是比 高阶的无穷小量 D.是比 低阶的无穷小量
设函数 ,在 处可导,则常数( )
A.B.
C.D.
设在 上严格单调减少,在处有极大值,则( ).
A.在 处有极小值 B.在 处有极大值
C. 在处有最小值 D. 在处既无极值也无最小
值
若连续曲线与在 上关于 轴对称,则积分
的值为( )
B. C. D.0
已知
是可导的偶函数,且
,则曲线在
处的切线方程是( )
A.B.C.D.
三、(每小题5分,共15分)
1.设,其中
1.设
,其中
具有二阶导数,且
的一阶导数不等于-1,求
求
证明:当
时,
.
四、(每小题6分,总18分)
,且
已知函数
,试求:
,证明 .
(1)的单调区间;
(2)的凹凸区间及拐点;
(3)曲线的渐近线.
已知
,且满足
,求 .
五、(8分)设函数 在的某邻域内有4阶连续导数。若
,而 .试问是否为极值点?是否为拐点?证明你的结论。
六、(8分)证明方程 在区间内有且仅有一个实根。
七、(8分)已知曲线
与曲线
在点 有公共切线,求
常数 的值及切点;
两曲线与 轴围成的平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积.
八、(8分)设在闭区间上有二阶导数,且,,求证:
至少存在一点使;
至少存在一点 ,使 .
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