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重难点07圆中的计算及其综合
考点一:圆中的角度计算
圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理,这两个定理都有对应推论,考察难度不大,题型基本以选择、填空题为主,所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可!
题型01圆中常见的角度计算
易错点:圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中,特别是一些概念性选择题,没有这个前提的话,对应结论是不正确的。
解题大招01:圆中角度计算口诀——圆中求角度,同弧或等弧+直径所对圆周角是90度
圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系,圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系,所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等,以及直径所对圆周角=90°的固定关系
解题大招01:圆中求角度常用的其他规律:
圆内接四边形的一个外角=其内对角
折叠弧过圆心→必有30°角
以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点
圆中出现互相垂直的弦,常作两弦心距→必有矩形(当弦相等,则得正方形)
【中考真题练】
1.(2023?河南)如图,点A,B,C在⊙O上,若∠C=55°,则∠AOB的度数为()
A.95° B.100° C.105° D.110°
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案.
【解答】解:∵∠AOB=2∠C,∠C=55°,
∴∠AOB=110°,
故选:D.
2.(2023?吉林)如图,AB,AC是⊙O的弦,OB,OC是⊙O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是()
A.70° B.105° C.125° D.155°
【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数,然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围,继而得出答案.
【解答】解:如图,连接BC,
∵∠BAC=70°,
∴∠BOC=2∠BAC=140°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB==20°,
∵点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),
∴0°<∠OCP<20°,
∵∠BPC=∠BOC+∠OCP=140°+∠OCP,
∴140°<∠BPC<160°,
故选:D.
3.(2023?枣庄)如图,在⊙O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的度数为()
A.32° B.42° C.48° D.52°
【分析】根据外角∠APD,求出∠C,由同弧所对圆周角相等即可求出∠B.
【解答】解:∵∠A=48°,∠APD=80°,
∴∠C=80°﹣48°=32°,
∵,
∴∠B=∠C=32°.
故选:A.
4.(2023?眉山)如图,AB切⊙O于点B,连结OA交⊙O于点C,BD∥OA交⊙O于点D,连结CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为()
A.25° B.35° C.40° D.45°
【分析】连接OB,由切线的性质得到∠ABO=90°,由平行线的性质得到∠D=∠OCD=25°,由圆周角定理得出∠O=2∠D=50°,因此∠A=90°﹣∠O=40°.
【解答】解:连接OB,
∵AB切⊙O于B,
∴半径OB⊥AB,
∴∠ABO=90°,
∵BD∥OA,
∴∠D=∠OCD=25°,
∴∠O=2∠D=50°,
∴∠A=90°﹣∠O=40°.
故选:C.
5.(2023?湖北)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=35°.
【分析】根据内切圆的定义和切线长定理,可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数,然后即可计算出∠AFD的度数.
【解答】解:连接OD,OE,OB,OB交ED于点G,
∵∠ACB=70°,
∴∠CAB+∠CBA=110°,
∵点O为△ABC的内切圆的圆心,
∴∠OAB+∠OBA=55°,
∴∠AOB=125°,
∵OE=OD,BD=BE,
∴OB垂直平分DE,
∴∠OGE=90°,
∴∠AFD=∠AOB﹣∠OGF=125°﹣90°=35°,
故答案为:35°.
【中考模拟练】
1.(2024?连云区一模)如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,点P是劣弧上一点(点P不与点C重合),则∠CPD=()
A.45° B.36° C.35° D.30°
【分析】连接OC,OD.求出∠COD的度数,再根据圆周角定理即可解决问题.
【解答】解:如图,连接OC,OD,
∵ABCDE是正五边形,
∴∠COD==72°,
∴∠CPD=∠COD=36°,
故选:B.
2.(2024?岱岳区一模)如图,AB是⊙O的直径,点D是的中点,∠BAC=40°,则∠ACD的度数是()
A.40° B.25° C.40°. D.30°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得:∠ACB
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