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第3章例题
设二维随机变量?X,Y?联合分布律如下
X
Y
-1
0
1
2
1
0
1/3
1/12
0
2
1/6
1/12
0
1/3
求：(1)X的边缘分布；(2)Y的边缘分布.
.解(1)X的边缘分布为 (2)Y的边缘分布为
X
X
P
1 2
5 7
1212
设二维随
机变量?X,Y?共有 六个
Y-
Y
-
1
0
1
2
P
1
6
5
12
1
12
1
3
它们是：?1,?1?、?2,?1?、?2,0?、?2,2?、?3,1?、?3,2?，
-1012X116000216160163001616并且取得它们的概率相同.求：(1)
-
1
0
1
2
X
1
1
6
0
0
0
2
1
6
1
6
0
1
6
3
0
0
1
6
1
6
(2)X 的边
缘分布为
X12
X
123
11 1
P
62 3
f?x,y??
? Axy
?
0?x?1,
0?y?1 ，
? 0 其它
求（1）常数A；（2）f
X
?x?,f
Y
?y?,并判断X与Y的独立性.
解、(1)?1?1Axydxdy ＝1，A＝4
00
(2)f
?x???2x 0?x?1， f
?y???2y 0?y?1，
??X与Y独立
?
?
X ?0 其它
Y ?0 其它
设随机变量X的分布列为
X
-1
0
1/2
1
2
P
1/3
a
1/6
2a
1/4
（1）试计算常数a； （2）求随机变量Y??X?1?2的期望.
解、（1）由1?a?1?2a?1?1 ，得a? 1
3 6 4 12
（2）随机变量Y的所有可能取值0,1
4
,1,4，
YP01
Y
P
0
1
6
0.25
1
6
1
1
3
4
1
3
所以E?Y?? 41
24
设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f?x,y?
?ke?(3x?4y)
??
?0
x?0, y?0
其它
试求(1)系数k， (2)P(0?X?1,0?Y?2).
解 (1) ??????
f(x,y)dxdy?1
k?12
?? ??
(2)P(0?X?1,0?Y?2)=?1dx?212e??3x?4y?dy
?= 0 ??0 ?
?
e?3?1 e?8?1
设随机变量(X,Y)的联合密度函数
?kxy,
f(x,y)??
?0,
0?x?1, 0?y?1
其它
试求:(1)常数k; (2)P(X?Y).
解（1）?1dx?1kxydy ?1
0 0
k?4
（2）P(X?Y).??1dx?14xydy
0
?1/2
设二维随机变量
x
的联合概率密度为
?Axe?y,
0?x?2,y?0,
(X,Y)
f(x,y)??
? 0, 其它
求（1）系数A；（2）边缘概率密度f
X
(x),f
Y
(y)，并判断X与Y的独立性;
（3）(X,Y)落在区域R:0?x?1,0?y?1内的概率.
解（1）?2dx???
Axe?ydy?1，A? .
10 0 2
1
（2）
f (x)?
X
?1
? x,
?2
??0,
0?x?2,
其它
?e?y,
f (y)??
Y ?0,
y?0;
其它.
X
(3)P??1dy?11
与Y独立
1
xe?ydx?
(1?1).
0 02 4 e
设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度
?A(x?y),
f(x,y)??
0?x?1,0?y?1
,
? 0, 其它
求（1）系数A； （2）边缘概率密度f
X
(x),f
Y
(y)，并判断X,Y是否相互独立；
（3）(X,Y)落在区域R:0?x?
1,0?y?1
2 2
内的概率.
解（1）?1dy?1A(x?y)dx?1，
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