新人教版高二暑期数学衔接第07讲空间向量基本定理讲义(学生版+解析).docxVIP

第07讲空间向量基本定理

【学习目标】

1.了解空间向量基本定理及其意义，

2.掌握空间向量的正交分解

【基础知识】

一、空间向量基本定理

1.如果三个向量a,b,c不共面?,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc????.我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底?,a,b,c都叫做基向量?.空间任意三个不共面?的向量都可以构成空间的一个基底

2.基向量的选择和使用方法

用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向

量应注意:

(1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断;

(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知

向量;

(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.【解读】

3.用基底表示向量的步骤

(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.

(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

二空间向量的正交分解

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直?,且长度都为1????,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

【考点剖析】

考点一：对平面向量基本定理的理解

例1．(多选)(2022学年河北省邯郸市高二上学期期末)已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是(???????)

A．若，则

B．，，两两共面，但，，不共面

C．一定存在实数x，y，使得

D．，，一定能构成空间的一个基底

考点二：对基底的理解

例2．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有(???????)

A．1 B．2 C．3 D．4

考点三：选择基底表示某一向量

例3．(2022学年河南省郑州市高二上学期期末)已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于(???????)

A． B． C． D．

考点四：选择基底求解向量的模或线段长度

例4．(2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为(???????)

A． B． C． D．

考点五：选择基底求解角度问题

例6．(2022学年重庆市四川外语学院高二上学期10月月考)二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.

考点六：选择基底求解数量积问题

例7．(2022学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期期中)已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则(???????)

A．1 B．2 C．-1 D．-2

【真题演练】

1.(2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中)已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有(???????)

A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线

C．与共线 D．O，A，B，C四点共面

2.(2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考)如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则(???????)

A． B．

C． D．

3.(2022学年安徽省六安中学高二上学期期中)如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则(???????)

A． B． C． D．

4.(2022学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中)若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是(???????)

A． B．

C． D．

5.(多选)(2022学年福建省福州市高二下学期期中)如图，在平行六面体中，，，．若，，则(???????)

A． B．

C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面

6.(多选)(2022学年上海市控江中学高二下学期期中)如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用??的线性组合表示___________.

7.(2022学年河北省邯郸市高二上学期期末)已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________