概率数理统计课件.pptVIP

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第一章概率统计基础n抽样估计¨常用统计量¨常用统计分布

抽样分布n统计推断从样本中推断总体¨主要目标:归纳和预测n统计量的概率分布称为抽样分布¨总体大小¨样本容量¨选择样本的方法n例:依据做出推断的抽样分布对参数

重要统计量统计量:由随机变量组成的一随机样本的函数,不含任何未知参数¨样本均值,描述样本中心趋势¨样本方差,描述样本的波动性¨n阶原点矩

均值的抽样分布n样本容量为n的的抽样分布¨实验不断重复(样本容量为n),产生多次的值时的一个分布¨描述样本在总体均值μ附近的平均变化nn个随机样本来自~N(μ,σ2)总体~N(μ,σ/n)2

S的抽样分布2统计量Sn2nn引入:

分布n定义:X,X,…,Xi.i.d,~N(0,1),随机变量12n所服从的分布为自由度为n的卡方分布,也就是Γ(n/2,?)分布,其密度函数为:

卡方分布特性n自由度为n的卡方分布:μ=n,σ2=2nn卡方分布的可加性n推论:X,X,…,Xi.i.d,~N(μ,σ212n),随机变量服从自由度为n的卡方分布。

Fisher(费歇尔)定理如果S2是{x}~N(μ,σ)的样本方差统计量,2i且与S2相互独立则随机变量

样本~N(μ,σ2/n),实际中没有已知的σ值,只能通过S进行估计nn考察统计量:引入t分布

t分布(学生氏分布)定义:X~N(0,1),Y~Х(2n),且X与Y相互独立,称随机变量所服从的分布为自由度为n的t分布,t~t(n)密度函数为:

t分布特性nn=1时,E(t)不存在nn≥2时,E(t)=0nn→∞时(n≥45),t分布趋向于标准正态分布

n结论:X,X,…,Xi.i.d,~N(μ,σ212n),随机变量为符合自由度为n-1的t分布。nt分布被大量用于总体均值的推断、样本比较等问题上

F分布(方差比分布)定义:X~Х立,称随机变量2(n),Y~Х(m),且X与Y相互独2所服从的分布为自由度为(n,m)的F分布,F~F(n,m)

F分布的密度函数用于比较多种类型的样本方差问题,如:比较样本是否来源于不同总体

分布的分位数n在统计推断时,需要知道给定概率下,对应随机变量的取值。定义:设X是随机变量,0α1,若实数Zα满足则称Z为X的α分位点。αα分位点可以由分布表查得αp

第二章样本估计n抽样估计¨点估计极大似然估计n最小二乘法n¨区间估计

统计推断n主要方法¨经典方法和贝叶斯方法n估计¨例1:通过随机抽样的100名投票者的意见来估计支持某位候选人的投票者的比例¨例2:通过随机抽样,估计整批产品的次品率n假设检验¨例:假设A的支持率比B高,通过适当的检验后,验证推翻这个假设

点估计方法n要求¨估计的“误差”应较小¨当n较大时,估计的“精度”应较高矩估计法常用的点估计:极大似然估计法最小二乘估计法

Fisher极大似然估计极大似然估计基本思想:一个随机试验有很多可能结果,如果在一次试验中,某结果发生了,则认为该结果(事件)发生的可能性最大。例:一老战士与一新同学一同进行射击训练,每人打了一枪,结果有一枪中靶.试问这一枪是谁打中的?分析:按照Fisher的极大似然思想,应该认为是老战士打中的较合理。

定义:设是总体的样本,令称为似然函数若存在统计量使得:则称为的极大似然估计,简记为MLEMaximumLikelihoodEstimation

估计量的评选标准n均值估计:选择样本均值还是中位数?n选择标准:¨无偏性标准、有效性标准定义:若估计量存在,且的数学期望有则称为θ的无偏估计,否则称为有偏估计。称:为估计量的偏差

n样本{x}~N(μ,σ2)i¨样本均值,样本方差¨极大似然估计μ=,MLn可以证明:是无偏估计,S2¨nμ、σ2本身符合高斯分布MLML无偏估计有偏估计,N→∞,渐进无偏,偏差可以忽略

有效估计定义:某种参数θ所有可能的无偏估计量,其中最小方差的估计量是θ的最有效估计量θ的三个估计量中,θ和θ是无偏的,12θ的方差小于θ的1方差,因此更有效。2

作业n1.证明:自由度为n的卡方分布~Γ(n/2,?)分布n2.证明统计量样本均值、样本方差分别是μ,σ的无偏估计2n3.根据所给的资料,学习掌握常用分布(正态分布、卡方分布、t分布和F分布)的绘制方法

回归(Regression)问题nFitthedatausingapolynomialfunctiony(x,w)isanonlinearfunctionofxItisalinear

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