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3.3数学期望例两个射击,甲还是乙的成绩更好?成绩(环数)0甲的概率0乙的概率0.6120.20.30.80.1
3.3数学期望3.3.1数学期望(均值)的定义直观理解,数学期望就是一个随机变量所有可能取值的加权平均值,权就是这些可能值相应的概率。
离散随机变量的数学期望如果X的分布律P{X=x}=p,k≥1满足:kk∑|x|p<+∞kk则定义离散随机变量X的数学期望是EX=∑xkpk或称为期望值或均值,反映的是随机变量取值的平均程度!
例在古典概率模型中设计了如下一个赌局:每个人从有3张假币的10张100元纸币中随机地抽出4张。如果全是真的,则赢得这400元;如果这4张中至少有一张假币,只输100元。问这种规则是否公平,或者说你是否愿意参加?解.分析,公平合理的规则必须是双方的平均获利都等于0以X记每局赌博中庄家的获利(可以为负),则X所有可能的取值是–400与100。
显然X的分布律为:xkpk–4001001—65—6因此,X的数学期望,即庄家在每局赌博中的平均获利为:400500503EX=(–——)+(——)=—。66这种赌博对庄家有利,平均一局他将净赚16.67元
例假设某人有10万元,如果投资于一项目将有30%的可能获利5万,60%的可能不赔不赚,但有10%的可能损失全部10万元;同期银行的利率为2%,问他应该如何决策?利润50–10概率0.30.60.1解.以X记这个项目的投资利润。平均利润为:EX=5×0.3+0×0.6+(–10)×0.1=0.5,而同期银行的利息是10×0.02=0.2,因此从期望收益的角度应该投资这个项目。风险型决策问题
大家动手算一下几何分布的数学期望!
随机变量函数的数学期望随机变量函数的概率分布X是分布已知的随机变量,g(·)是一个已知的连续函数,如何求随机变量Y=g(X)的分布?比较常见的一些函数y=g(x)的形式是线性函数y=a+bx、幂函数y=xk(特别k=2)、指数函数y=e、对数函数y=lnx等等;x概率论中的很多重要的分布都是通过一些简单的分布变换得出来的。
二.离散型随机变量函数的概率分布如果离散随机变量X具有分布律:P{X=x}=p,k≥1;kk则Y=g(X)也是一个离散随机变量,相应分布律是:P{Y=g(x)}=p,k≥1。kk但有时需要把可能重合的一些g(x)的概率相加k
§随机变量函数的数学期望如果离散随机变量ξ具有分布律:P{ξ=x}=p,k≥1,kk则随机变量Y=g(ξ)的数学期望是:EY=E[g(ξ)]=∑[g(x)p]kk
3.3.2.3数学期望的性质1.随机变量线性变换的期望等于期望的线性变换即,设a、b是两个常数,则有:E(a+bξ)=a+bE(ξ);特别EC=C(C为常数)2.随机变量和的期望等于期望的和对任意的n个随机变量ξ、ξ、…、ξ,都有:12nE(ξ+ξ+…+ξ)=Eξ+Eξ+…+Eξ12n12n3.随机变量函数的和的期望等于随机变量函数的期望的和对随机变量函数f(ξ),g(ξ),有:E(f(ξ)+g(ξ))=Ef(ξ)+Eg(ξ)
例射击教练将从他的如下两名队员中选择一人去参加比赛,应该是甲还是丙更合适?成绩(环数)8甲的概率0.1丙的概率0.29100.60.70.30.1解.这里甲、丙两人的平均成绩都是EX=EY=9.5那该如何做出决定呢?
3.3.3方差的定义方差是一个随机变量在它的数学期望附近取值的分散程度,方差越小说明取值越集中于期望。对随机变量ξ,如果(ξ–Eξ)2的数学期望存在,即Dξ=E(ξ–Eξ)2=∑(x-Eξ)pj2j则称它是ξ的方差,记为Dξ或者Var(ξ)。方差的平方根(Dξ)1/2称为X的标准差或均方差
方差的基本性质性质1DC=0性质2D(ξ+C)=Dξ性质3DCξ=CDξ2
2.方差的计算公式①按照定义,Dξ=E(ξ–Eξ);2②常用公式,Dξ=E(ξ2)–(Eξ);2称E(ξ2)为二阶原点矩,数学期望Eξ为一阶原点矩,并称方差Dξ=E(ξ–Eξ)2为二阶中心矩。
数学期望与方差的概
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