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平面向量
知识点1:向量的有关概念
1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.
2、零向量:长度为0的向量,记作.
3、单位向量:长度等于1个单位长度的向量.
4、平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:与任一向量平行.
5、相等向量:长度相等且方向相同的向量.
6、相反向量:长度相等且方向相反的向量.
知识点2:向量的线性运算
知识点3:共线向量定理/垂直向量的充要条件
①向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
或设a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
②两个向量垂直的充要条件当,≠时,⊥·=0
知识点3:向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=eq\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则eq\o(AB,\s\up6(→))=(x2-x1,y2-y1),|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r((x2-x1)2+(y2-y1)2).
知识点4:平面向量的数量积
1.数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.
2、投影向量已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把向量叫做向量a在b方向上的投影向量。
3.数量积的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.(2)模:|a|=eq\r(a·a)=eq\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1)).
(3)夹角:cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(x1x2+y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)+yeq\o\al(2,2))).(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0?x1x2+y1y2=0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)+yeq\o\al(2,2)).
常用结论1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))).
2.eq\o(OA,\s\up6(→))=λeq\o(OB,\s\up6(→))+μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ,μ为实数),若点A,B,C共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1.
3.两个向量a,b的夹角为锐角?a·b0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角?a·b0且a,b不共线
4.平面向量数量积运算的常用公式:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
知识点5:正、余弦定理及变形
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC
变形
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,
c=2RsinC;
(2)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
(3)eq\f(a+b+c,sinA+sinB+sinC)=eq\f(a,sinA)=2R
cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc);
cosB=eq\f(c2+a2-b2,2ac);
cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)
【注意】若已知两边和其中一边的对角,解三角形时,可用正弦定理.在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时,要注意避免增根或漏解,常用的基本方法就是注意结合“大边对大角,大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题.
知识点6:三角形常用面积公式
1、S=eq
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