第十九章 几何证明（15个知识归纳+14类题型突破）（解析版）.pdfVIP

15+14

第十九章几何证明（个知识归纳类题型突破）

1.掌握几何证明的相关概念，掌握命题与定理、掌握逆命题与逆定理；

2.掌握垂直平分线的性质与判定；

3.掌握角平分线的性质与判定；

4、掌握直角三角形的性质与判定；

5、掌握勾股定理的相关概念；

知识点01．命题与定理

1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由

已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．

2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．

4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是

论．

5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需

要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

知识点02．角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有

时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C

在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

知识点03．线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）

垂直平分线，简称“中垂线”．

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的

距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距

离相等．

知识点04．两点间的距离公式

两点间的距离公式：

设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．

说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．

知识点05．直角三角形全等的判定

1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三

角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，

使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

知识点06．直角三角形的性质

（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一

个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．

知识点07．含30度角的直角三角形

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用

来求边的长度和角的度数．

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三

角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．

知识点08．直角三角形斜边上的中线

（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角

三角形．

该定理可以用来判定直角三角形．

知识点09．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．