电动力学试题.doc

一个系统电荷的偶极钜定义为

利用电荷守恒定律，证明的变化率为：

证明：

假设

同理：

即：

有一个半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自由电荷ρf,,求

空间各点的电场

极化体电荷和极化面电荷分布

解：

考虑外球壳时，r=r2,r从介质1指向介质2〔介质指向真空〕，

考虑到内球壳时，r=r1

证明

当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足

其中ε1和ε2分别为两种介质的介电常数，θ1和θ2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

当两种导电介质内流有恒定的电流时，分界面上电场线曲折满足

其中σ1和σ2分别为两种介质的导电率。

证明：〔1〕根据边界条件：

又由于边界上

(2)根据：可得，电场方向与电流密度同方向。

由于电流是恒定的，固有：

即有：

固有;

试用边值关系证明：在绝缘体介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体外表；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体外表。

证明：〔1〕导体在静电条件下到达静电平衡

所以导体内

而：

，故垂直于导体外表

导体中通过恒定电流时，导体外表

所以导体外

而：

导体内电场方向和法向垂直，即平行于导体外表。

内外半径分别为的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为，板间填充电导率为的非磁性物质。

证明介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无电场。

求随时间衰减规律

求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度。

求长度为l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。

证明：〔1〕由点流连线性方程：

据高斯定理

，即传导电流与位移电流严格抵消。

解:由高斯定理得到：

〔3〕

能量耗散功率密度：

单位体积

经电能

减少率

在均匀外电磁场中置入半径为R0的导体球，试用别离变数法去求以下两种情况的电势：

导体球上接有电池，使球与地保持电势差；

导体球上总带电荷Q

解：〔1〕当导体球上接有电池，与地保持电势差时，以地为零电势点

本问题的定解条件如下：

根据有关的数理知识，可解得：

由于

故而有：

又

故而又有：

得到：

最后得到定解问题的解为：

〔2〕当导体球上带总电荷Q时，定解问题存在的方式是：

解得满足边界条件的解是：

由于的表达式中，只出现了项，故bn=0(n1)

又有是一个常数

又由边界条件

7，均匀介质球〔电容率为ε1〕的中心置一自由电偶极子，球外充满了另外一电介质〔电容率为ε2〕，求空间各点的电势和极化电荷发布。

解：

比拟系数：

比拟的系数，得到：

最后有：

球面上的极化电荷密度

从2指向1，取外发现方向，那么：

求极化偶极子：

可以看成两个电荷相距1，对每一个点电荷运用高斯定理，就得到在每个点电荷旁边有极化电荷

两者结合起来就是极化偶极子

8．半径为R0的导体球外面充满绝缘介质ε，导体球接地，离球心为处置一点电荷，试用别离变量法求空间各点电势，证明所得结果与镜像法结果一样。

解：1〕别离变量法

由电势叠加原理，球外电势为：

是球面上感应电荷产生的势，且满足定解条件：

Pr

P

r

o

Qf

θ

根据别离变量法得到：

又

即：

带入〔*〕式即可求解。

2〕镜像法

如同建立坐标系，此题具有球对称性，设在球内R0处有像电荷Q’代替球面上感应电荷对空间电场的作用，由对称性，Q’在OQf的连线上：P

P

r

o

Qf

θ

P1

Q’

先令场点Pl在球面上，根据边界条件有：

将的位置选在使那么有，为了到达这一目的，令Q’据圆心为r0

那么：

并有：

这样满足条件的像电荷就找到了，空间各点电势为：

将别离变量法得到的结果展开为Legend级数，可证明两种方法所得的结果是一样啊。

9.证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。

〔1〕在面电荷两侧，电势法向微商有越变，而电势是连续的

〔2〕在面偶极层两侧，电势有越变

而电势的法向微商是连续的。〔各带等量正负面电荷而靠的很近的两个面，形成面偶极层，而偶极钜密度当〕

〔1〕

面：

2〕可得：

10试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同表达式，证明两者之差是无旋量。

解：是沿z方向的均匀的恒定磁场，即

在直角坐标系中，

如果用在直角坐标系中表示，即：

由此方程组可以看出有多组解，如：

解1：

解2：

解1和解2之差为：

那么：

说明两者之差是无旋场。

11.考虑两列振幅相同的、偏振方向相同的、频率分别为的线偏振平面波，他们都沿z轴方向传播。

〔1〕求合成波，证明波得振幅不是常数，而是一个波；

〔2〕求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。

解：

其中

用复数表示

相速

群速

12.平面电磁波垂直直射到金属外表上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。

证明：设在z0的空间中是金属导体，电磁波由z0的空间中垂直于导体外表入